Strange Attractor

1961년 MIT 의 기상학자인 Edward Lorenz 가 물을 데울 때 일어나는 난류에 대해 연구를 하면서, 난류에서 얻어진 신호를 3차원 위상공간에서 기하학적으로 재구성한 결과 나비모양의 로렌츠 attractor 를 발견하게 되었다.

attractor의 가장 간단한 형태는 '점 attractor'인데, 이것의 예는 좌우로 흔들리는 추를 들 수 있다. 추가 왔다갔다 하면서 나타내는 궤적을 그림으로 그려보면 한 점에 이르러 정지하게 된다. 처음 어느 위치에서 흔들림이 시작되더라도 종국에는 한 점에 끌려가듯이 점으로 귀결되어 멈추는 것으로 나타난다. 점을 기준으로 보면 점이 자신의 힘이 미치는 영역안에 있는 것들을 모두 자신에게 끌어당기는 것과 같은 것이다. 따라서 초기 값으로 어느 정도 다른 수치가 입력되더라도, 다시 말해 운동을 시작할 때의 초기 위치나 속도 등이 다르더라도 종국에는 attractor에 의해 끌려들어가면서 한 점에 고정되어 끝나거나 일정한 형태의 곡선을 따라 반복되면서 끝나는 것이다.

그런데 로렌츠가 발견한 attractor는 나비모양의 이상한 형상을 하고 있어 '기묘한 attractor(strange attractor)'라고 불린다. 이러한 형용사가 붙은 이유는 그때까지 알려진 attractor와 다른 형상이면서 초기 값에 대해 매우 예민하게 변함으로 인해 생겨나는 불안정성이 내포되어 있기 때문이다. 대류현상을 해석하기 위해 세운 미분방정식이 초기 값에 민감하게 반응하기 때문에, 두 개의 초기 값이 서로 거의 차이가 없더라도 나중에는 그 미묘한 차이가 계속적인 반복과정을 거치면서 크게 증폭되어 서로 전혀 다른 결과를 얻게 되는 것을 로렌츠는 '나비 효과(butterfly effect)' 라고 불렀다.

이 불안정성 때문에 계(系)의 운동은 초기 조건에 민감하게 영향을 받게 되며, 이것이 비예측성이 나타나게 되는 원인이다. 따라서 카오스는 결정론적인 뉴턴역학과 달리 매우 불규칙하고 예측이 불가능하며, 대표적인 비선형계(非線形系)에 해당한다. 자연계의 운동은 대부분이 비선형적이며, 생물체는 대표적인 비선형계이다.

 나비효과의 오른쪽과 왼쪽의 나비 날개에 해당하는 부분은 물이 데워지면서 나타나는 대류현상의 두 가지 회전방향에 대응한다. 즉, 물의 흐름이 어지러운 듯이 보여도, attractor의 영향력이 작용하는 범위를 벗어나지 못하고 그 안에서 뱅뱅 돌 듯이 움직인다. 나비모양의 바깥에서 출발해도 종국에는 나비모양의 attractor에 끌려가서 헤어나지 못하는 것이다. strange attractor를 단면으로 잘라보면 비슷한 모양의 무수히 많은 기하학적 형상이 층을 이룬 형태로 나타난다. 이 반복되는 현상을 'fractal'이라고 하는데, 이 말은 부서진다는 의미의 라틴어에서 따온 것으로 미국의 만델브로트(Benoit Mandelbrot)가 1975년에 처음 사용한 용어이다.

strange attractor는 이제까지의 단순한 기하학적인 attractor들보다 훨씬 재미있으며, 더 복잡한 모양을 하고 있다. 하지만 그 내용은 단순한 재미라기보다는 깊은 의미가 내포되어 있다. 그래서 더욱 '기묘한' 것이다. '기묘하다'(strange)라는 말은 처음 그것을 발견했을 때의 당혹스러웠던 것은 바로 프랙탈 구조를 하고 있기 때문이다.프랙탈 구조의 특성은 바로 자기닮음의 구조였었다.

그런데 strange attractor는 프랙탈 구조처럼 어느 부분을 확대해 보아도 원래 형태의 궤도의 패턴이 반복되고 있다. 프랙탈과 카오스는 이처럼 종이의 앞뒤면과도 같은 깊은 관계가 있다. 특히 주목할 점은 strange attractor가 3차원 이상에서만 생긴다는 점이다(이산역학계에서는 2차원에서도 가능). 3차원 공간상에 그려지는 strange attractor는 어느 한 점도 두 번 다시 지나가는 일이 없다. 그러면서도 한정된 공간 내를 무한히 되풀이해서 돌고 있다. 무한히 긴 구렁이가 좁은 굴 안에서 또아리를 틀고 있는 것과 같은 불가사의한 현상이다.

strange attractor로 알려진 것으로는 로렌츠(Lorenz) attractor를 비롯하여 에농(Hénon) attractor, 뢰슬러(Rüssler) attractor 등이 있다. 물론 이 밖에 더 있으며, 앞으로도 많이 발견될 것이다.

attractor 중에서도 준주기 attractor는 토러스(원환)를 이룬다. 마치 실패에 실이 감기는 것과도 같은 보기에도 아름다운 이 원환운동은 두 개 이상의 원운동이 합성되어 이루어진다는 것이 고전역학의 입장이다. 그러나, 알고보면 운동의 궤적이 이처럼 깔끔한 형태(원환)가 되는 것은 공식에 의하여 해가 얻어지는 특별한 방정식들만을 다룬 탓이다. 실제로는 규칙적인 도형이 되지 않는 운동의 궤적(=attractor)이 무수히 많다. 이것들이 strange attractor이다. '기묘한'이라는 형용사를 붙인 것은 아직 그 본질을 파악하지 못하고 있기 때문이다.

strange attractor는 아무리 확대하여도 완전한 프랙탈 구조를 지닌다. 그 밖에 이 attractor에서 볼 수 있는 두드러진 특징은 카오스 현상을 빚는다는 점이다. '로렌츠의 attractor'에서는 곡선상의 점은 어느 쪽에서 오든지 반드시 두 개의 '눈 구멍' 주위를 돌게 된다. 그러나 처음에는 서로 가까운 위치에 있던 두 점이 차츰 멀리 떨어져 나가고, 끝내는 두 '구멍' 중의 어느 쪽 둘레를 돌고 있는지조차 알 수 없게 된다. 궤도상을 움직이는 낱낱의 점들이 다음 순간에 어디에 위치하는지는 분명히 파악할 수 있는데도 말이다.