제 22 회 한국수학올림피아드 1차 시험 (중등부)

2008년 5월 24일 ; 제한시간 4시간

문제 1. 다음 방정식과 부등식을 모두 만족시키는 의 최소값을 구하여라, 단, 는 모두 정수이다.

문제 2. 방정식 의 두 근을 라고 할 때, 의 값을 구하여라.

문제 3. 원 에 내접하는 사각형 에 대하여 점 에서의 원 의 접선과 점 에서의 원 의 접선, 그리고 직선 가 한 점을 만난다. 일 때, 변 의 길이를 구하여라.

문제 4. 방정식 를 만족하는 정수쌍 에 대하여, 의 최대값을 구하여라.

문제 5. 동일한 흰 색 구슬 3 개와 동일한 검은 색 구슬 6 개가 있다. 이 9 개의 구슬을 주어진 원 위에 같은 간격으로 배열하는 방법의 수를 구하여라. 단, 어떤 배열을 원의 중심을 기준으로 적당히 회전시켜 얻을 수 있는 배열들은 모두 같은 것으로 간주한다.

문제 6. 숫자 1 과 2 만을 사용하여 만든 7 자리 양의 정수 중에서 ‘1221’ 이 한 번만 나타나는 것의 개수를 구하여라. 단, 1221221 은 ‘1221’ 이 두 번 나타난 것으로 본다.

문제 7. 원에 내접하는 육각형 에 대하여 이다. 선분 와 의 교점이 , 선분 와 의 교점이  이고

일 때, 을 구하여라.

문제 8. 다음 조건을 만족시키는 이차함수 들에 대하여, 의 값들 중 최대값을 구하여라.

[조건] 모든 실수 에 대하여 이고, 이다.

문제 9. 직사각형 에서 이다. 점 은 의 중점이고 점 은 선분 위의 점으로서 이다. 선분 의 중점을 라 할 때, 비 의 값을 구하여라.

문제 10. 어느 학급에 1 번부터 40 번까지 40 명의 학생이 있다. 이들을 한 조에 세 명씩 모두 13 개 조로 편성하고 한 명이 남았다. 각 조에 속한 세 사람의 번호의 합이 9, 19, 29,... 등과 같이 끝자리가 모두 9 라고 한다. 남은 한 명의 번호로 가능한 수 중 가장 큰 것을 구하여라.

문제 11. 밑면은 넓이가 4 인 정사각형이고 높이는 3 인 뚜껑이 열린 직육면체 통이 있다. 이 통의 네 옆면에는 서로 다른 색이 칠해져 있어서 서로 구분된다. 가로, 세로, 높이가 이렇게 채우는 방법의 수를 구하여라.

문제 12. 서로 다른 실수 에 대하여 일 때, 의 최소값을 구하여라.

문제 13. 원 위의 제 점 가 순서대로 있다. 선분 와 의 교점이 이고 선분 위의 한 점 와 를 연결한 직선과 선분 와의 교점이 이다.

일 때, 의 값을 구하여라.

문제 14. 세 자리 양의 정수 를 생각하자. 세 개의 자리수 중 어떤 두 개의 합이 나머지 하나의 두 배인 양의 정수 의 개수를 구하여라.

문제 15. 다음 그림과 같이 합동인 두 정오각뿔의 밑면을 붙여 만든 도형에서 모서리들을 길로 간주하자. 아래의 규칙에 따라 점 에서 점 로 이동했다가 다시 점 로 돌아오는 경로의 수를 구하여라.

[규칙1] 점 에서 점 로, 그리고 점 에서 로 이동할 때에는 다시 점 로 이동할 때에는 각각 적어도 세 개의 모서리를 지나간다.

[규칙2] 한 번 지나간 점이나 모서리는 다시 지나가지 않는다.

문제 16. 다음과 같이 정의된 수열을 생각하자.

이 때 다음 두 정수의 최대공약수를 구하여라.

문제 17. 다음 부등식을 만족시키는 정수 가운데 가장 큰 수를 구하여라.

문제 18. 어떤 양의 정수 의 양의 약수의 개수는 6개이고, 이 약수들의 합이 이다. 의 값을 구하여라.

문제 19. 양의 정수 에 대하여, 인 정수 도 과 서로 소이고, 도 의 값을 구하여라.

문제 20. 원 에 내접하는 정 36각형 에 대하여, 꼭지점 에서 점 에 내접하는 원이 대각선 과 점 에서 접한다. 또 꼭지점 에서 원 에 내접하는 원이 대각선 과 점 에서 접한다. 직선 와 직선 의 교점 에 대하여 ∠ 라고 할 때, 의 값을 구하여라. 단,