제 22 회 한국수학올림피아드 1차 시험 (중등부)

2008년 5월 24일 ; 제한시간 4시간

문제 11. 밑면은 넓이가 4 인 정사각형이고 높이는 3 인 뚜껑이 열린 직육면체 통이 있다. 이 통의 네 옆면에는 서로 다른 색이 칠해져 있어서 서로 구분된다. 가로, 세로, 높이가 이렇게 채우는 방법의 수를 구하여라.

풀이 : i) 모두 각목이 뉘어져 있는 경우 : 세 층을 쌓을 수 있고, 한 층당 각목을 놓을 수 있는 방법의 수가 두 가지이므로 모든 경우의 수는 가지

ⅱ) 1, 2 층만 세워져 있는 각목이 존재하는 경ㅇ우 : 1, 2 층에 각목을 세우는 방법은 1 (모두 세워져 있는 경우, 이 때 3 층에 각목을 눕혀놓는 방법은 두 가지) +1×4 (두개만 세워져 있고 두 개는 뉘어 있는 경우) = 5

이때, 3 층에 각목을 뉘어놓는 방법이 두 가지이므로 5×2 = 10 가지.

ⅲ) 2, 3 층만 세워져 있는 각목이 존재하는 경우 : ⅱ) 와 마찬가지로 10 가지.

ⅳ) 1, 2, 3 층에 모두 세워진 게 존재하는 경우 : 1, 2 층에 두 개, 2, 3 층에 두 개가 세워져 있어야 한다. 1, 2 층에 세워진 각목은 이웃하게 있어야 하고, 그렇게 놓는 방법이 4 가지이다. 1, 2 층에 각목을 세워놓으면, 2, 3 층에 세워야 하는 각목의 위치는 자동으로 결정되므로 이 경우는 4 가지 뿐이다.

∴ 8 + 10 + 10 + 4 = 32 가지.

답 : 32