William Rowan Hamilton
(아일랜드 수학자 물리학자 천문학자 1805~1865)
William Rowan Hamilton 은 아일랜드의 수학자, 물리학자, 천문학자이다. 그가 발견한 4 차원법 (quaternions) 은 그의 가장 유명한 연구이다. 그는 또한 광학 (optics), 동력학 (dynamics), 대수학 (algebra) 의 발전에 공헌하였다. 그의 연구는 나중에 양자역학 (quantum mechanics) 의 발전에 중요한 역할을 하였다. 카톨릭 주교 John Brinkley 는 해밀턴이 18 세이던 1823 년에 다음과 같이 언급했다 : "이 젊은이는 아마도 그의 세대를 대표하는 최초의 수학자가 될 것이다" ............ (Wikipedia : William Rowan Hamilton)
생애
영국의 수학자, 이론물리학자, Dublin에서 변호사의 아들로 태어난 그는 어릴때부터 신동으로 통하였다. 백부의 외국어 교육으로 13세 때에 이미 10여가지 외국어를 익혔고 그는 수학에 흥미를 가지고 Newton, Lagrange, Laplace등의 저서를 읽어, 대학 입학 당시에는 이미 수학을 거의 통달하였으며 또 광학계에 관한 뛰어난 이론과 아이디어를 창안하였다. 1824년 Dublin 대학의 Trinity College에 입학, 27년에는 재학 중인 칼리지의 천문학 교수로 선임되었으며, 던싱 천문대장을 겸임하였다. 이듬해인 28년에 (광선계의 이론) 제 1부를 발표하였는데 이것은 이른바 해밀턴의 특성함수를 도입한 것으로, 광학계에 대한 일반적인 대수적 이론을 세운 것이며, 기하광학의 기초이론이었고, 동시에 후년의 역학이론을 출발시키는 기본이 되었다. 이어 원추굴절을 예견하였는데 이는 로이드에 의하여 실종되었다. 그 무렵부터 광학을 도입한 역학의 모든 분야에 이를 확장시키는 시도에서 특성함수를 사용한 빛의 전파와 질점의 운동과를 통일, 34년에는 변분원리라 하여 이른바 (해밀턴의 원리)를 만들었다. 또, "해밀턴의 정준운동 방정식"을 수립함으로써 해석역학의 기초를 확립하였다. 한편, "4차원법"을 착상하여 그 이론의 전개에 노력하였고, 이론물리학의 모든 것을 포괄하는 유용성을 밝히려 하였으나 실현되지 않았다. 그러나 그에 의하여 대수계에 대한 다양한 길이 열렸고, 그후의 대수학 및 물리학에 대한 응용에서 큰 영향을 끼쳤다.
과학적 업적
해밀턴은 1835년 "동역학의 일반적 방법"이라는 제목의 유명한 논문으로 발표하여 자신의 특성함수에 대한 생각을 물체들의 모임의 운동에 응용함으로써 운동방정식을 동역학계의 운동량 성분과 그 위치를 결정하는 좌표성분 사이의 이중성을 드러내는 형태로 표현했다. 이 방정식들은 소위 "해밀턴 함수"를 사용하여 얻어졌는데, 이 함수는 다음과 같은 방정식으로 설명된다. "여기에 힘의 장속에서 움직이는 한계, 말하자면 한 입자가 있다고 가정하자. 그러면 이 계의 총에너지(운동에너지, 위치에너지)를 운동량성분과 위치성분으로 나누어 쓸 수 있다. 이 표현이 그 계의 Hamiltonian 이라고 불리며 이 계의 운동을 묘사하는 이 점은 좌표들만 잘 선택하면 매우 복잡한 계에서도 적용할 수 있다"는 것이다.
해밀턴은 빛의 전파를 Pierre de Fermat의 최소시간 원리로 표현하고 그것이 입자의 경로에 관한 Maupertuis의 최소작용의 원리와 비슷한 것에 착안하여 움직이는 물체에 대한 동역학의 연구를 시작했다. 이 연구를 수행하면서 그는 광학과 동역학이 놀랍게도 유사함을 발견하고 이를 발전시켰는데, 수십년 뒤에 Erwin Schrodinger가 입자들을 파동역학으로 기술하는데 이것을 출발점으로 삼았다. 이것이 물리학의 역사에서 서로 다른 분야 사이에 존재하는 상관관계를 맺는 가장 두드러진 예 중의 하나인데, 이러한 점은 나중에 양자역학을 논의하게 되면 더욱 분명해진다.
해밀턴은 "광학에 대한 과학"이 서로 다른 두가지 방법으로 발전되었음을 지적했다. 하나는 광선이 직선을 따라 전파하는데 근거한 것으로, 해밀턴은 이를 "광선의 모임에 대한 이론"이라고 불렀으며 다른 하나는 파동의 전파에 근거한 것이다. 광선광학을 연구하면서 그는 광선광학에 대한 Fermat의 최소시간의 원리와 입자들에 대한 Maupertuis의 최소작용의 원리 사이에 존재하는 유사함에 놀라서 동역학도 일종의 기하광학적인 이론으로 기술할 수 있을 것이며 따라서 광학과 동역학의 법칙들이 모두 한 가지 보편적인 작용의 동일한 최소원리로 결합되거나 나타낼 수 있다고 확신했다. 그는 Lagrange의 「해석역학, Mechanique Analutique 」으로 발전된 동역학에 대한 Lagrange의 연구를 매우 찬양하면서 자신의 이러한 생각들은 발전시키려고 정진했다.
해밀턴에게는 그가 Fermat의 최소시간의 원리를 포함시킨 최소작용의 원리가 자연법칙들의 맨 윗자리를 차지하였으며 물리학으로의 통합을 향한 창문이었다. 광학과 역학현상을 모두 다룰 수 있는 간단한 최소작용의 원리를 구하기 위하여, 그는 Fermat의 원리로부터 시작하여 이것이 Maupertuis의 최소작용의 원리와 매우 닮은 원리로 바뀌어질 수 있음을 보였다. 이것을 보이기 위하여 그는 Fermat 원리에서의 광선의 속력으로 나눈 것으로 바꾸었다. 이것은 진공속에서 광선이 움직였을 거리에 광선의 경로 각 점에서의 매질의 굴절률을 곱한 것과 같다. 이 과정을 통하여, 그는 Fermat의 최소시간의 원리가 Maupertuis의 최소작용의 원리의 형태와 비슷함을 보였다.
그는 연구를 수행하면서 광학의 법칙과 뉴튼의 운동법칙을 놀랍게 종합하였다. 매질 안의 한 점에서의 굴절률이 그 점에서 광선의 속력을 결정함으로 마치 힘의 장이 그 안에서 움직이는 입자에게 영향을 미치듯이 굴절률은 광선에 영향을 미친다. 이와 같이 기하광학에서의 Fermat의 원리중에, 해밀턴은 입자의 행동을 일종의 파동역학으로 기술할 수 있을지도 모른다는 생각에 다다르게 되었다. 그는 동일한 양의 총에너지를 지니는 입자가 지나가는 궤도는 알맞는 굴절률을 갖는 매질에서 광선이 지나가는 경로와 동일함을 보였다. 즉 해밀턴에 의하면 어떤 입자든지 그 궤도가 주어진 굴절률을 갖는 매질을 통과하는 광선이란 궤도와 같도록 해주는 굴절률을 찾는 것이 가능하다. 그렇지만, 광선이란 빛을 파동으로 기술하는 올바른 방법에 대한 근사에 불과하다고 생갈할 수 있다. 광학에서 빛의 광선은 파면에 수직한 것과 마찬가지로, 역학에서 입자의 궤도는 다른 종류의 파면에 수직하다. 다시 말하면, 입자 파동역학에서 작용은 광학에서 위상의 역할에 해당된다. 이 해밀턴의 공식체계가 바로 입자의 고전역학으로 부터 양자역학과 파동역학으로 옮겨지는데 필요한 것이며, 이것을 Schrodinger가 통체로 물려받게 된다.
후대에 미친 영향
이제 우리는 해밀턴이 고전동역학에 끼친 위대한 공적을 요약할 수 있다. 힘의 장안에서 움직이는 입자를 생각하자. 그러면 해밀턴이 채택한 과정을 따라서 이 입자의 경로는 마치 그 입자가 움직이는 힘의 장과 명확하게 연관지을 수 있는 굴절률을 가진 광학적 매질 속을 진행하는 광선으로 입자를 묘사할 수 있다. 그래서 이러한 생각으로부터 광선과학, 즉 기하광학에서 빛을 단지 근사적으로 기술한 것에 불과하다고 추측할 수 있다. 그리고 광선광학이 파동광학에 의해 보완되는 것과 꼭 마찬가지로 입자동역학도 파동 동역학의 측면으로 보완된다.
만일 뉴튼 동역학을 고전광학과 비교하면, 동역학은 광학에 비하여 단지 절반만 기술한다고 보이는데 반하여 광학은 뉴튼의 입자설 형태와 호이겐스의 파동설 형태의 두가지로 나타나는데, 동역학은 파동의 측면을 전혀 갖지 않는다. 자연의 단일성을 정열적으로 믿었던 해밀턴과 같은 사람에게는 이것은 뉴튼 물리학에서 보완되어야만 할 결점으로 비추어졌으며 그는 작용의 개념에 빛의 전파를 포함시킴으로써 이런 방향으로 확장하려는 첫 걸음을 내디뎠다.
보편스러운 작용원리를 찾으려고, 해밀턴은 작용이 운동하는 입자의 운동량 뿐 아니라 에너지도 포함하도록 그 의미를 넓혀서 Maupertuis의 작용의 원리를 확장했다. 작용을 입자가 진행하는 경로 위의 짧은 구간에서 입자의 운동량과 짧은 구간의 간격의 곱으로 정의하는 대신에, 그는 매우 짧은 시간간격 동안의 입자의 운동을 고려하고 이 짧은 시간간격에 Lagrange가 일반화된 뉴튼역학에 도입했던 "Lagrangian"이라고 불리는 양을 곱한 것으로 작용을 정의했다. 한 입자의 Lagrangian은 단순히 그 운동 에너지에 위치에너지로 기술 하는데 이용될 수 있다. 한개의 입자만 있는 경우에 해밀톤의 작용은 두가지 곱의 합이다. 하나는 입자의 운동량에 그 경로 위의 짧은 구간거리를 곱한 것이고 다른 하나는 입자의 총에너지에 입자가 짧은 구간을 진행하는데 걸린 시간간격을 곱하여 이것의 음수를 취한 것이다. 이 식은 다음과 같이 표현될 수 있다.
해밀턴의 작용 = (운동량 * 거리) - (에너지 * 시간) = 모페르티의 작용 - (에너지 * 시간)
해밀턴이 정의한 작용이 운동량을 거리와 그리고 에너지를 시간과 연결시킨 것은 다음 두가지 점에서 놀랄 만하다, 그것은 입자의 운동량을 그 운동경로 위에서 측정하는 것이 어떤 방법으로든 그 위치의 측정과 연관되어 있음을 보여주며 이것은 양자역학을 암시한다. 그것은 또한 물리계를 기술하는데 있어 작용과 같은 양을 구하는데 운동량은 공간과, 그리고 에너지는 시간과 결합하여야 함을 의미한다. 그래서 이것은 공간과 시간을 단일 시공간 연속체로 결합하는 상대론을 암시한다. ....... (충북대 물리학과 : 해밀턴)
모든 점으로 보아 수학분야에서 아일랜드의 가장 위대한 명성을 지닌 해밀턴은 1805년 더블린에서 태어나서,잠깐씩 다른곳을 방문한 것을 제외하면, 전 생애를 그 곳에서 보냈다. 그는 일찍이 고아가 되었으나, 겨우 한 살 때 그를 열심히 그러나 언어에 치중되게 교육시켰던 삼촌에게 양육이 맡겨졌었다. 해밀턴은 천재임이 판명되었고, 13세가 되었을 때에는 나이만큼이나 많은 외국어를 유창하게 구사하였다. 그는 실제적인 성과는 없었으나, 고전에 대한 관심을 키워나갔고, 일생의 열망이 된 시 쓰기에 빠져있었다. 그는 위대한 시인 워즈워스(William Wordsworth)와 절친한 친구이며, 서로 존경하는 사이가 되었다.
해밀턴은 15세가 되어서야 수학에 열중하게 되었다. 그 변화는 더블린의 박람회에서 어리지만 자신의 능력을 시범보인 미국 암산 학자 콜번(Zerah Colburn)을 만남으로써 일어났다. 얼마후 해밀턴은 우연히 뉴턴의 <보편산수, Arithmetica universalis> 한 권을 얻었다. 그는 이 책을 매우 열심히 읽어 해석기하학과 미적분학을 숙달하였다. 그 다음에 4권의 <프린키피아, Principa>를 읽고, 유럽 대륙의 위대한 수학적 저서를 공부하였다. 라플라스의 <천체 역학,Mecanique celeste>을 읽으며 수학적인 오류를 지적하였고, 1823년 상당한 관심을 끌었던 그것에 관한 논문을 썼다. 이듬해 그는 더블린의 트리니티 칼리지에 입학하였다.
해밀턴은 겨우 21세이며 대학 재학시절인 1823년에 아일랜드 왕립 천문학자, 던싱크 천문대장과 대학교 천문학 교수에 만장일치로 임명되었다. 그 직후 수학적 이론만으로 축이 두 개 있는 결정체에서의 원추형의 굴절을 예견하였는데, 그 후 이것은 물리학자들의 실험을 통하여 극적으로 확인되었다. 1833년 복소수의 대수가 실수의 순서쌍의 대수로 나타나는 중요한 논문을 아일랜드 학술원에 제출했다. 1835년 그는 나이트 작위를 맏았다. 1833년의 논문에 따르면, 해밀턴은 수 년 동안 때때로 실수의 순서 3쌍과 순서 4쌍의 대수에 관하여 생각했으나, 연산의 잘 알려진 법칙을 보존하고 그 연산을 자신의 물리적 고찰에 맞도록 곱셈을 정의하는 문제에서 항상 난관에 부딪혔다. 마침내 1843년 번개같이 스치는 영감으로 자신은 너무 많은 것을 요구하고 있었고, 교환법칙을 포기해야 한다는 생각을 하며 최초의 비가환대수인 사원수대수를 돌연 탄생시켰다.
물리학을 공부하는 학생들은 소위 해밀턴 함수와 동역학의 해밀턴-야코비 미분방정식에서 해밀턴의 이름을 만난다. 행렬이론에서 해밀턴-캐일리 정리, 방정식, 다항식이 존재하고, 수학적 오락으로 정12면체에 관한 해밀턴의 게임이 있다.
병과 가정불화로 인한 비극적인 말년에, 새로 설립된 미국의 국립 과학원이 그를 최초의 외국 준회원으로 선출하였던 일을 상기 하는 것은 아마 미국 사람들을 기분좋게 할것이다. 또 다른, 해밀턴에게 주는 드물게 보는 명예와 경의의 한 예는 1845년 그가 케임브리지에서 열린 제2회 영국 학회에 참석했을 때 뉴턴이 <프린키피아>를 저술했다고 전해지는 트리니티 칼리지의 신성한 방에서 일주일 동안 묵게 한 것이다 .......... (thinkquest : 해밀턴)
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그래프이론 (Graph Theory) 해밀턴의 사이클 (Hamiltonian Cycle) 최단경로 찾기 문제 (Shortest Path Finding Problem) 순회판매원 문제 (Traveling Salesman Problem) 조합최적화 (Combinatorial Optimization) 계산복잡도이론 (Computational Complexity Theory) William Rowan Hamilton
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