정규분포

1.     확률밀도함수

앞장에서는 실험이나 관찰을 통해서 얻어진 자료 값이 정수로 나타나는 사상에 대한 이산확률분포를 설명하였다. 이번 장에서는 수집된 자료들이 일정한 구간 범위 안에서 무수히 많이 변화하는 연속확률변수에 대한 확률분포를 다루고자 한다.

확률밀도함수 (probability density function) 란 수집된 자료집단의 성격을 밀집되어 있는 정도를 확률로 표현한 것이다. 확률밀도함수를 명확하게 이해하기 위해서 예를 들어 설명하도록 하자. 일상생활에서 자주 사용하는 두루마리 화장지는 그 규격이 폭은 98 mm 길이는 70 m 인 두루마리 화장지여야 정장 제품이라할 수 있다. 모든 두루마리 화장지가 정상 제품인지 밝히고자 한다. 백화점에서 화장지 100 개를 구입하여 길이를 정밀하게 측정한 결과 <표 1> 과 같은 확률분포를 얻었다.

<표 1> 두루마리 화장지의 확률분포

 

<표 1> 로 나타난 확률분포를 시각적인 그래프로 작성하면 그림 1 과 같다.

그림 1  확률분포 그래프

그림 1 에서 나타난 바와 같이 확률분포를 그래프로 표현하면 자료집단의 성격을 쉽게 파악할 수 있다. 만약 두루마리 화장지를 1,000 개 구입하여 확률분포를 나타내면 그림 2 와 같이 될 것이다.

그림 2 는 자료집단의 모양에 대하여 확률밀도로 나타낸 것으로서 확률변수가 갖는 모든 구간에 확률을 합한 값은 1 이다. 만약 무수히 많은 두루마리 화장지를 구입하여 정밀하게 측정했다면 자료집단의 확률밀도는 그림 3 과 같이 매끄러운 곡선으로 나타날 것이다.

그림 2  확률분포 그래프

그림 3  확률밀도함수 그래프

그림 3 과 같이 연속적인 매끄러운 곡선을 확률밀도함수라 한다. 다시 말하면 확률밀도함수는 X 축에는 확률변수의 값을, Y 측에는 확률변수가 갖는 일정 구간 값이 나타날 확률을 표현한 곡선이다. 그러므로 확률밀도함수는 확률변수 X 가 갖는 값의 범위에 따라 좁게 밀집되거나 넓게 흩어진 정도를 확률로 나타낸 함수이다. 이제 연속확률밀도를 함수 형태로 표현하기 위해서 P(x) 대신 f(x) 로 나타내자. 그러면 확률밀도함수 f(x) 는 확률을 생성하는 함수로서 다음과 같은 특성이 있다.

첫째, 확률밀도함수 아래에 있는 전체면적은 1 이다.

모든 가능한 경우의 확률을 합한 값이기 때문에 확률밀도함수를 적분한 값도 1 이다.

              

둘째, 확률변수 X 가 일정한 구간 안에 값을 갖게 될 확률은 그 구간 내의 곡선 아래 면적과 같다.

X 가 a 와 b 사이에 값을 갖게 될 확률은 그 구간에서 적분한 값이다.

셋째, 연속확률밀도함수 f(x) 는 확률 값을 생성하므로 항상 0 이상 1 이하 값을 갖는다.

연속확률밀도함수 중에서 가장 중요한 확률분포가 정규분포이다.

2. 정규분포

‘정규성’ 이란 개념을 처음 논리적으로 설명한 사람은 프랑스 수학자 모아브르 (A. D. Moivre, 1667~1754) 이다. 그리고 라플라스 (P.D. Laplace, 1747~1827) 는 정규곡선 (normal curve) 을 수학적으로 전개하였다. 또한 독일의 수학자 가우스 (Karl F. Gauss, 1777~1825) 는 물리적 실험에서 오차에 대한 확률분포가 정규곡선과 같다는 것을 증명하여 정규분포 (normal distribution) 라고 불렀다. 그러므로 정규분포를 일명 ‘가우스분포 (Gaussian distribution)’ 로 부르기도 한다.

자연과학 현상은 물론 사회과학 현상을 분석할 때 가장 빈번하게 활용되는 확률분포는 정규분포이다. 왜냐하면 실험이나 관찰을 통하여 수집된 자료집단의 확률분포는 대부분 정규분포를 따르기 때문이다. 그러므로 정규분포에 대하여 명확히 이해하는 것이 매우 중요하다. 이제 어떤 확률변수 X 가 평균이 μ 이고 분산이  인 정규분포 한다면, 확률밀도함수는 식 1 로 나타난다.

정규분포 확률밀도함수 :

식 1

식 1 로 나타난 정규분포모양은 이항분포와 마찬가지로 여러 가지 형태를 갖는다. 정규분포 위치는 평균에 의하여 결정되고, 그 모양은 표준편차 크기에 의하여 정해진다. 이러한 정규분포의 확률밀도함수를 단순히 정규곡선이라고 부르기도 한다. 그러면 정규곡선은 표준편차의 크기에 따라 어떤 모양을 나타낼까? 아래 그림 4 는 평균과 표준편차에 따라 정규곡선을 나타낸 것이다.

그림 4  정규곡선의 형태

그림 4 에서 왼편의 정규곡선은 μ = 10, σ = 4 일 때 형태이고, 오른편 정규곡선은 μ = 30, σ = 15 일 때 형태이다. 정규분포는 평균과 표준편차에 관계없이 모두 종 (bell) 모양으로 나타나며, 평균을 중심으로 좌우 대칭이다. 그리고 표준편차 크기에 따라 정규분포의 흩어진 상태가 다르다. 표준편차가 크면 정규분포는 넓게 흩어진 모양이고, 표준편차가 작으면 좁게 밀집된 모양으로 나타난다. 확률변수 X 의 평균과 표준편차에 따라 정규분포의 위치와 모양은 다르게 나타나지만 모든 정규분포는 공통적으로 다음과 같은 특성을 갖는다.

첫째, 모든 정규분포는 종 모양을 나타내고 좌우 대칭이다.

정규분포는 평균을 중심으로 좌우 대칭이며 종 모양을 나타낸다. 그러므로 정규분포를 따르는 확률변수 X 는 평균 중앙치 최빈치가 모두 같다. 그런데 확률변수 X 가 갖는 범위는 무한대일 수 있다.

둘째, 정규곡선의 위치는 평균 μ 에 의해서 정해지고, 그 모양은 표준편차 σ 크기에 의해서 결정된다.
어떤 정규분포에서 μ = 10 일 때 정규곡선 중심 위치는 10 이고, μ = 30 이면 정규곡선 중심 위치는 30 이다. 그리고 표준편차가 작으면 정규분포는 좁게 밀집된 모양으로 나타나고, 표준편차가 크면 넓게 흩어진 형태로 나타난다.

셋째, 자료집단에 따라 평균과 표준편차 크기는 다르다. 그러나 평균으로부터 k 배 표준편차 이내 범위에서 확률변수 X 값을 갖게될 확률은 같다. 확률변수 X 가 평균이 μ 이고 분산이  인 정규분포한다면, μ 로부터 ±σ, ±2σ, ±3σ 범위 내에 확률변수 값이 포함된 확률은 각각 68.3 %, 95.4 %, 99.7 % 이다.

만약 두루마리 화장지 길이는 평균이 70 m 이고 표준편차가 2 m 인 정규분포한다면, 68 m 에서 72 m 사이에 길이를 갖는 화장지는 전체 중 68.3 % 이다. 그리고 66 m 에서 74 m 사이에 길이를 갖는 화장지는 전체 중 95.4 % 이다. 이러한 정규분포에서 확률적 특성을 그림으로 나타내면 그림 5 와 같다.

그림 5  정규분포의 확률적 특성

정규분포에서 μ 와 σ 에 따른 확률적 범위는 식 2 와 같다.

정규분포에서 확률범위 :	①		식 2
	②
	③

식 2 에서 ① 로 나타난 확률 0.683 은 당연히 정규분포함수 식 1 을 적분한 값이다. 즉  이다.

이러한 3 가지 특성을 갖는 정규분포는 확률분포에서 가장 중요한 위치를 차지한다. 왜냐하면 자료집단의 확률분포 형태는 대부분 정규분포 모양을 따르기 때문이다. 실제로 실험이나 관찰을 통하여 수집된 자료집단을 도수분포 그래프로 나타내면 대부분 정규곡선과 거의 같은 모양을 나타낸다. 예를 들어 두루마리 화장지 길이, 돼지 몸무게, 도토리 키 등을 측정한 자료집단의 확률분포는 대부분 평균을 중심으로 좌우 대칭인 정규분포를 따른다. 뿐만 아니라 표본 평균과 표본비율에 대한 확률분포도 정규분포한다.

어떤 집단으로부터 크기가 동일한 표본을 무수히 많이 추출할 수 있다. 그러한 표본에서 계산된 평균과 비율도 정규분포를 따른다. 이러한 표본 통계량에 대한 확률분포는 통계학에서 매우 중요하므로 다음 제 6 장에서 자세히 설명할 것이다. 또한 이항분포에서도 설명한 바와 같이 이항분포를 따르는 확률변수라 할지라도 표본 크기가 충분히 크면 이항분포는 정규분포에 접근한다. 과거 로마시대에 모든 길은 로마 (Rome) 로 통했듯이 모든 확률분포는 정규분포로 통한다.

3. 표준정규분포

확률변수가 X 가 평균이 μ 이고 분산이 σ² 인 정규분포한다는 것을 다음 식 3 과 같이 간단히 표기하자.

확률변수 X 의 정규분포 :

X ~ N (μ, σ2)

식 3

이제 확률변수 X 가 X ~ N (μ, σ²) 를 따른다면, 확률변수 X 가 a 에서 b 사이에 값을 갖게 될 확률은 정규분포함수를 구간 a ~ b 에서 정적분하여 구할 수 있다.

a ~ b 사이에 확률 :

식 4

그런데 확률변수가 갖게 될 값의 범위에 확률을 구하기 위하여 그 때마다 정규분포함수를 식 4 와 같이 적분하는 것은 매우 어렵고 번거로운 일이다. 이러한 경우에는 확률변수를 표준화 변수로 변환하여 표준정규분포 (standard normal distribution) 를 생성한 다음 원하는 확률을 구하면 매우 편리하다. 여기서 확률변수를 표준화 변수로 변환시키는 이유를 알아야 한다. 표준화 변수란 개별적인 확률변수 값으로부터 평균을 뺀 차이를 다시 표준편차로 나누어 새로운 확률변수로 변환시킨 것을 의미한다. 새롭게 변환된 확률변수를 표준정규변수 (standard normal variable) 라 한다.

다시 설명하면 확률변수를 표준화 변수로 변환시킨 것이 표준정규변수이며 Z 로 표기하고 표준화 형식은 식 5 와 같다.

표준화 변수 (= 표준정규변수) :

식 5

표준화 변수 변환된 Z 의 확률분포를 표준정규분포라 하며 그림 6 으로 나타난다.

그림 6  표준정규분포

앞에서 설명한 바와 같이 평균과 표준편차의 크기에 따라 정규분포는 위치와 모양이 다르다. 그러므로 서로 다른 정규분포를 따르는 확률변수를 비교ㆍ분석하는 것은 매우 어렵다. 왜냐하면 그때마다 어떤 범위에서 확률변수가 갖게 될 값의 확률을 계산하는 일은 거의 불가능하기 때문이다. 따라서 정규분포하는 확률변수를 표준화 변수 Z 로 표준화하여 표준정규분포를 이용하면 편리하다. 표준화 변수 Z 는 평균이 0 이고 분산이 1 인 정규분포로 나타나는 특성이 있다.

이렇게 평균이 0 이고 분산이 1 인 정규분포를 표준정규분포라 하고 간단히 Z ~ N(0, 1) 로 표기한다. 다음 예제를 통하여 표준정규분포의 특성을 알아보자.

예제 1

1997 년 한국 표준과학연구원에서는 「국민표준체위조사」를 실시한 바 있다. 우리나라에서는 지난 1979 년 처음으로 국민체위조사를 실시하였는데 이번이 4 번째 조사가 이루어진 것이다. 그 조사결과에 의하면 우리나라 성인 남녀 (25 ~ 50 세) 의 발 길이는 남성인 경우 평균이 248 mm 이고 표준편차는 10 mm 인 정규분포한다. 또한 여성의 발 길이는 평균이 228 mm 이고 표준편차는 9 mm 인 정규분포한다. 그런데 실제 발 길이는 신고 다니는 신발 크기보다 훨씬 작게 나타났다. 발 길이는 사람마다 다르므로 남성의 발 길이를 확률변수 X 라 하자. (1)             확률변수 X 값이 각각 238,258 일 때 그에 대응되는 표준화 변수 Z 값을 구하라. (2)             표준화 변수 Z 값이 각각 1.5, -2.0 일 때 그에 대응되는 확률변수 X 값을 구하라. (3)             P(-2.0 ≤ Z ≤ 2.0) = 0.954 를 만족시키는 확률변수 X 의 범위를 구하라.

풀이 1

남성 발 길이를 확률변수 X 로 나타냈기 때문에 확률변수 X 는 평균이 248 이고 표준편차가 10 인 정규분포한다. (1)             확률변수 X = 238, 또는 258 일 때 대응되는 표준화 변수 Z 값은 식 5 를 이용하여 쉽게 구할 수 있다. ①    X = 238 일 경우 μ = 248, σ = 10 이므로, 따라서 X = 238 일 때 표준화변수 Z = -1.0 이다. ②    X = 258 일 경우 μ = 248, σ = 10 이므로, 따라서 X = 258 일 때 표준화변수 Z = 1.0 이다. (2)             표준화 변수 값이 주어졌을 때 그에 대응되는 확률변수 값을 구하는 문제이다. (1) 과 마찬가지로 식 5 를 이용하여 구한다. ①    Z = 1.5 일 경우 μ = 248, σ = 10 이므로,  로부터  이 성립한다. 확률변수 X 에 관하여 해답을 구하면 X = 248 + 1.5 (10) = 263 이다. ②    Z = -2.0 일 때, μ = 248, σ = 10 이므로,  로부터  이 성립한다. 확률변수 X 에 관하여 해답을 구하면 X = 248 + (-2.0)(10) = 228 이다. 따라서 Z = -2.0 일 때 X = 228 이다. (3)             표준화 변수 Z 가 –2.0 에서 2.0 사이에 값을 갖게 될 확률이 95.4 % 이다. 따라서 표준화변수 Z 가 –2.0 에서 2.0 까지 범위에서 대응되는 확률변수 X 값을 구하면 다음과 같다. 먼저 부등식 –2.0 ≤ Z ≤ 2.0 에  를 대입하자.  ; μ = 248, σ = 10 이므로, =  ; 각 항에 10 을 곱한다. = -20 ≤ X – 248 ≤ 20 : 각 항에 248 을 더한다. = -20 + 248 ≤ X ≤ 20 + 248 = 228 ≤ X ≤ 268 따라서 확률변수 X 가 갖는 범위는 228 에서 268 사이이다.

이제 정규분포와 표준정규분포가 어떻게 관계를 맺고 있는지 살펴보자. 만약 확률변수 X 가 평균이 μ 이고 분산이 σ² 인 정규분포한다면, X 에 의해 변수 변환된 표준화 변수 Z 는 평균이 0 이고 분산이 1 인 표준정규분포한다. 확률변수 X 는 정규분포하고 X 로부터 변환된 표준화 변수 Z 는 표준정규분포하는 관계를 그림으로 나타내면 그림 7 과 같다.

그림 7  정규분포와 표준정규분포

그림 7 에서 알 수 있는 바와 같이 정규분포를 따르는 확률변수 X 가 평균 값 248 일 때 그에 대응하는 표준화 변수 Z 값은 0 이다. 또한 확률변수 X 가 평균으로부터 한 배의 표준편차가 작은 값인 238 일 때 그에 대응하는 표준화 변수 Z 값은 –1 이다. 그리고 확률변수 X 가 평균으로부터 한 뱅�l 표준편차가 큰 값인 258 일 때 표준화 변수 Z 는 +1 이다.

그림 7 에서 나타난 바와 같이 확률변수 X 가 평균이 μ 이고 분산이 σ² 인 정규분포할 때, 확률변수 X 가 μ + σ 이면 대응되는 표준화 변수 Z 값은 1 이고, 확률변수 X 가 μ + 2σ 이면 대응되는 표준화 변수 Z 값은 2 이다. 한편 확률변수 X 가 평균인 μ 값을 가질 때 표준화변수 Z 값은 당연히 0 이다. 그러면 표준화 변수 Z 는 평균이 0 이고 분산이 1 의 값을 갖는지 증명하도록 하자. 우선 표준화 변수 Z 에 대하여 기대치를 구해보자.

따라서 표준화 변수 Z 에 대한 기대치는 0 이다. 다음으로 표준화 변수 Z 에 대하여 분산을 구해보자. 분산의 정의에 따라 표준화 변수 Z 에 대한 분산은 다음과 같다.

Var(Z) = E[Z-E(Z)]², 여기서 E(Z) = 0 이다.

따라서 표준화 변수 Z 는 평균이 0 이고 분산이 1 인 표준정규분포함을 알 수 있다. 이제 표준정규분포가 어떻게 활용되는지 예제를 통하여 살펴보자.

예제 2		국내에서 토플 (TOEFL) 시험을 대행하고 있는 기관은 한미교육위원단 (KAEC) 이다. 한미교육위원단에서는 미국이나 캐나다에 유학하기 위해 토플시험을 응시한 한국학생들의 점수를 조사한 바 있다. 1989 년 7 월부터 2 년 동안 응시한 7 만 7 천여 명의 토플 점수를 조사하였다. 그 조사결과에 따르면 700 점 만점 기준에서 응시자들의 토플점수는 평균이 504 점이고 표준편차가 80 인 정규분포한다. (1)             토플점수가 504 점에서 584 점 사이에 있는 응시자는 전체 가운데서 몇 % 인가? (2)             624 점 이상 토플점수를 취득한 응시자는 몇 % 인가? (3)             토플점수가 344 점 이하로 나타난 응시자는 몇 % 인가?
풀이 2	토플 응시자의 점수를 확률변수 x 라 하자. 그러면 확률변수 x 는 평균이 504 이고 표준편차가 80 인 정규분포한다. 간단히 표현한다면, X ~ N (504, 802) 이다. (1)             토플점수가 504 점에서 584 점 사이에 확률을 구하는 것이므로 다음과 같은 확률식으로 표현된다. P(504 ≤ X ≤ 584) = ? 그림을 그려서 해답을 구하도록 하자. P(504 ≤ X ≤ 584) ; 표준화시킨다.  ; 부록  에서 대응되는 확률을 찾으면 0.3413 = 0.3413 따라서 토플점수가 504 점에서 584 점 사이에 있는 응시자는 34.13 % 이다. 이러한 결과는 어떻게 구해진 것일까? 표준정규분포 함수로부터 구할 수 있다. 확률변수 X 가 평균이 μ 이고 분산이 σ2 인 정규분포 한다면, 표준화 변수 Z 는 식 6 으로 나타난 표준정규분포 함수를 갖는다. 표준정규분포함수 :                        식 6 확률변수 X 가 찾는 값의 범위를 표준화 변수 Z 로 변환하면 Z 의 범위는 0 에서 1 사이이다. 따라서 표준화 변수 Z 가 0 에서 1 사이의 값을 갖게 될 확률은 다음과 같다. 그러나 필요한 확률을 구할 때마다 표준정규분포 함수를 적분할 수 없다. 그러나 Z 가 갖는 값의 범위에 따른 확률이 부록  표준정규분포표로 제시되어 있다. 그러므로 부록  에 있는 표준정규분포표를 이용할 수 있어야 한다. 표준정규분포는 평균이 0 이고 분산이 1 인 좌우 대칭의 정규분포이다. 그래서 Z 값의 범위에 따라 양의 방향에 해당되는 확률만 나타나 있다. 부록  의 표준정규분포를 보면서 아래에 해당되는 확률을 찾아보자. P(0.0 ≤ Z ≤ 1.0) = 0.3413,        P(0.00 ≤ Z ≤ 1.11) = 0.3665 P(0.0 ≤ Z ≤ 1.64) = 0.4495,       P(0.00 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.4750 (2) 624 점 이상 토플점수를 취득한 응시자는 몇 % 인가? 확률을 의미하는 수식으로 나타내면 다음과 같다. P(X ≥ 624) = ? 그림을 그려서 해답을 구하도록 하자. P(X ≥ 624) ; 표준화 시킨다. = P(Z ≥ 1.50) ; 부록  에서는 Z 의 값이 0 에서 1.50 까지의 확률만 나타나 있음으로 0.5 에서 P(0 ≤ Z ≤ 1.50) 을 뺀다. = 0.5 – P(0 ≤ Z ≤ 1.50) = 0.5 – 0.4332 = 0.0668 따라서 토플점수가 624 점 이상인 응시자는 6.68 % 이다. (3) 토플점수가 344 점 이하로 나타난 응시자는 몇 % 인가? 확률을 의미하는 수식으로 나타내면 다음과 같다. P(X ≤ 344) = ? 그림으로 그려서 해답을 구하도록 하자. P(X ≤ 344) ; 표준화하면 = P(Z ≤ -2.0) ; Z 의 범위가 음 (-) 으로 나타날지라도 0 을 중심으로 좌우대칭이기 때문에 부록  에서 합당한 확률을 찾아 0.5 에서 P(0 ≤ Z ≤ 2.0) 을 뺀다. = P(Z ≥ 2.0) = 0.5 – P(0 ≤ Z ≤ 2.0)  = 0.5 – 0.4772 = 0.0228 따라서 토플점수가 344 점 이하로 나타난 응시자는 2.28 % 이다.

예제 2  풀이 과정에서 설명한 바와 같이 표준정규분포의 응용범위는 매우 넓다. 그래서 자료집단의 성격이 정규분포에 접근된다면 우선 표준화 변수로 변환하여 표준정규분포를 이용한다. 또한 표준정규분포의 응용기법도 다양하게 적용될 수 있다. 자료집단이 정규분포를 따른다면 우선 확률변수의 평균과 표준편차 값을 가지고 표준화 변수로 변환시켜 표준정규분포로 접근해야 한다. 표준정규분포에 대한 응용능력을 기르기 위해 또 다른 예제를 살펴보자.

예제 3

우리 몸체는 물로 구성되어 있다고 해도 지나친 말이 아니다. 젖먹이 아이 몸체에서는 몸무게의 75 % 가, 성인 몸체에서는 60 % 는 물이다. 그래서 물만 먹고 금식하는 경우에는 최대 120 일 정도 생명을 유지하지만, 물을 먹지 않고 금식하는 경우에는 최대 7 일 정도 생명이 유지될 뿐이다. 우리나라에서 처음으로 상수도 물을 공급한 것은 1908 년으로 뚝도 수원지 (지금의 노량진) 에서 1 인당 하루 180 ℓ 정도 물을 12 만명 분 공급했다고 한다. 그 후 상수도 보급률은 해마다 개선되어 1996 년 기준 83.6 % 에 달하며, 국민 1 인당 하루 급수량은 평균 409 ℓ 로 1.5 ℓ 짜리 팻트병으로 273 병에 해당한다. 어찌되었든 K 대학 기숙사에는 2 천명 학생이 생활하고 있는데, 하루에 학생 한 명이 사용하는 급수량은 평균이 500 ℓ 이고 표준편차는 100 ℓ 이며 정규분포한다고 한다. (1) 기숙사에서 하루에 450 ℓ 에서 600 ℓ 사이에 물을 사용하는 학생은 몇 % 인가? (2) 기숙사에서 하루에 550 ℓ 에서 700 ℓ 사이에 물을 사용하는 학생은 몇 % 인가? (3) 하루에 400 ℓ 이상 물을 사용하는 학생은 몇 % 인가?

풀이 3

하루 물 사용량은 일정하지 않고 학생들마다 변한다. 물 사용량을 확률변수 X 라 하자. 그러면 확률변수 X 는 평균이 500 이고 표준편차가 100 인 정규분포 한다. (1) P(450 ≤ X ≤ 600) = ?    P(450 ≤ X ≤ 600) ; 표준화 시킨다. = P(-0.5 ≤ Z ≤ 1.0) ; 표준정규분포에서는 양의 방향부분만 확률이 나타나 있다. = P(-0.5 ≤ Z ≤ 0.0) + P(0.0 ≤ Z ≤ 1.0) = P(0.0 ≤ Z ≤ 0.5) + P(0.0 ≤ Z ≤ 1.0) ; 좌우대칭이므로 = 0.1915 + 0.3413 = 0.5328 따라서 하루에 450 ℓ 에서 600 ℓ 사이에 물을 사용하고 있는 학생은 53.28 % 이다. (2) P(550 ≤ X ≤ 700) = ? P(550 ≤ X ≤ 700) ; 표준화 시킨다. = P(0.5 ≤ Z ≤ 2.0) = P(0.0 ≤ Z ≤ 2.0) – P(0.0 ≤ Z ≤ 0.5) = 0.4772 – 0.1915 = 0.2857 (3) P(X ≥ 400) = ? P(X ≥ 400) ; 표준화 시킨다. = P(Z ≥ -1.0) = 0.5 + P(0.0 ≤ Z ≤ 1.0) = 0.5 + 0.3413 = 0.8413 따라서 하루에  400 ℓ 이상 물을 사용하는 학생은 84.13 % 이다.

이제 보다 편리하게 표준정규분포를 이용하기 위해 표준화 변수가 갖는 값의 특징을 살펴보자. 확률변수 X 가 평균이 μ 이고 분산이 σ² 인 정규분포한다고 하자. μ 와 σ² 의 값이 크든 작든 관계없이 확률변수 X 를 표준화 변수 Z 로 변환하면, Z 는 평균이 0 이고 분산이 1 인 표준정규분포한다. 표준화 변수 Z 가 갖는 특정한 값의 범위에 따라 표준정규분포는 특정한 확률을 나타낸다.

표준화 변수의 범위와 확률 :

P(-1.64 ≤ Z ≤ 1.64) 0.900 P(-1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.950 P(-2.58 ≤ Z ≤ 2.58) = 0.990

식 7

식 7 은 특정한 확률에 대하여 표준화 변수 Z 값이 갖게 될 범위를 나타낸 것이다. 따라서 식 7 은 제 7 장과 제 8 장에서 배우게 될 추정과 검정에서 매우 중요한 역할을 한다.

예제 4	외제 물건이라면 이쑤시개까지 좋아하는 우리 국민이 쇠고기만은 한우고기를 찾는다. 지난 1974 년만 해도 우리나라에서 사육한 황소 무게는 평균 289 kg 이었다. 그 후 축산분야에서 종자 개량과 사육기술 발달에 힘입어 한우 무게는 계속 늘어나 오늘날 황소 무게는 거의 500 kg 정도에 달한다고 한다. 우리나라에서 사육하고 있는 생후 18 개월 이상 된 황소 무게는 평균이 500 kg 이고 표준편차가 50 kg 인 정규분포한다고 하자. 이제 우량 한우를 집중 육성 관리하기 위해 무게가 무거운 순서대로 5 % 에 해당하는 황소를 선발하고자 한다. 그렇다면 무게가 몇 kg 이상인 황소를 선발해야 하는가?
풀이 4	황소 무게를 확률변수 X 라 하자. 그러면 확률변수 X 는 평균이 500 이고 표준편차가 50 인 정규분포하므로 다음 그림과 같이 나타난다. 그리고 μ = 500, σ = 50 이다. 그림에서 무게가 무거운 5 % 에 해당하는 부분은 검게 나타나 있기 때문에 X0 에 대응되는 표준화 변수 Z 값은 식 7 에 의해서 1.64 임을 알 수 있다. 그러므로 다음 식이 성립한다. X0 = 1.64 (50) + 500 = 82 + 500    = 582 따라서 582 kg 이상인 황소를 선발해야 한다.

4. 이항분포의 정규분포 적용

어떤 확률변수가 이항분포할 경우에 표본이 크면 확률을 계산함에 있어 매우 번거롭다. 또한 성공확률이 극히 작지 않은 경우 시행횟수가 크면 이항분포 형태는 정규분포에 접근한다는 것을 제 4 장 1 절에서 설명한 바 있다. 그러므로 이항분포를 정규분포로 접근시켜 적용할 수 있다. 정규분포가 중요한 이유는 여기에 있다. 그러면 이항분포가 정규분포로 접근되기 위해서는 어떠한 조건이 필요한지 살펴보자.

첫째, 표본 크기가 충분히 커야 한다.
둘째, 성공확률이 매우 크거나 극히 작지 않아야 한다.

만약 베르누이 시행에서 시행횟수 n 이 크고 성공확률 π 가 매우 작지 않으면 이항분포는 정규분포에 접근한다. 그런데 이항분포하는 확률변수가 시행횟수는 크고 성공확률이 희소하다면 포아송분포를 따른다. 많은 실험과정을 거쳐서 다음 식 8 을 만족시키면 이항분포를 정규분포로 접근시켜 분석하여도 오차가 거의 발생되지 않는다.

이항분포의 정규분포 접근 조건 :

(1) π < 0.5 일 때는 nㆍπ > 5 인 경우 (2) π > 0.5 일 때는 nㆍ(1-π) > 5 인 경우

식 8

특히 n 이 클 때 이항분포로서 확률을 계산하는 것은 매우 번거로운 일이기 때문에 정규분포로 접근시켜 분석하는 것이 편리하다. 이제 이항분포가 정규분포로 어떻게 적용되는지 예를 들어 설명하기로 하자.

물체에 대한 모습을 인식하는 눈의 능력 바로 시력이다. 미국 등 선진국에서는 전체 인구의 25 % 가 근시 증상을 보이고 있다. 그러나 지금도 넓은 초원지대에 살며 수렵과 농경생활을 하는 몽골인에게는 근시 증상은 거의 없다. 근시는 유전과 환경의 영향을 받는다고 하는데, 우리나라 중ㆍ고교생 가운데 근시인 학생은 20 % 라고 한다. 이제 우리나라 중ㆍ고교생 중에서 100 명을 표본으로 추출하여 시력을 검사하였다. 그 중에서 근시인 학생이 15 명에서 18 명 사이로 나타날 확률을 구하여 보자.

물론 근시인지 아닌지 두 가지 결과로 나타나는 현상이기 때문에 근시인 학생 수는 이항분포를 한다. 그러므로 이항분포로부터 확률을 구할 수는 있다. N = 100, π = 0.20 이므로 X 가 15 에서 18 사이에 갖게 될 확률을 구하면 아래와 같다.

위 식에서 알 수 있듯이 시행횟수 n 이 클 경우에 확률변수 X 가 비록 이항분포일지라도 확률을 계산함에는 매우 번거롭고 어렵다. 그러므로 이항분포를 정규분포로 접근시켜서 해결하도록 하자.

전체 중ㆍ고교생 중에서 100 명을 표본으로 뽑은 경우의 수는 무수히 많다. 만약 100 명씩 무수히 많은 표본을 추출했다고 하자. 그러면 표본마다 근시인 학생 수는 변한다. 근시인 학생 비율이 20 % 라고 해서 매 표본마다 근시인 학생수가 20 명만 나타나지는 않는다. 표본에 따라 18 명, 또는 16 명, 또는 22 명으로도 나타날 수 있다.

따라서 근시인 학생 수는 확률변수 X 이다. 그러므로 100 명씩 무수히 많은 표본을 뽑는다면, 확률변수 X 는 그림 8 과 같은 확률분포를 할 것이다.

그림 8  n = 100, π = 0.20 일 때 이항분포

그림 8 에서 나타난 바와 같이 무수히 많은 표본을 반복해서 추출한다면 확률변수 X 는 정규분포에 접근함을 알 수 있다. 이항분포에서 정규분포로 접근을 자세하게 살피기 위해 X 가 15 에서 18 까지 나타날 확률을 확대하여 그려보면 그림 9 와 같다.

그림 9  15 ≤ X ≤ 18 에서 이항분포와 정규분포

이항분포를 정규분포로 접근시켜 분석함에 있어서 정확성을 추구할 필요가 있다. 왜냐하면 이항분포에서 확률변수는 정수 값을 취하는 반면, 정규분포에서는 연속적인 값을 갖기 때문이다. 그러므로 이항분포에서 확률변수 X 가 15 에서 18 사이에 값을 갖게 될 확률은 정규분포에서는 14.5 에서 18.5 사이에 값을 갖게될 확률로 구해야 한다. 정수 값을 연속적인 값으로 대응시켜서 확률을 구해야만 오차의 한계를 줄일 수 있기 때문이다. 이렇게 이항확률변수를 정규확률변수로 접근시킬 때 대응되는 값에 반올림을 고려해야 한다. 이것을 가리켜 연속성 수정 (continuity correction) 이라 한다.

이러한 연속성 수정은 이산확률변수를 연속확률변수로 접근시키기 때문에 발생되는 오차를 줄이기 위해서 필요하다. 이항확률변수를 정규확률변수로 연속성을 수정하기 위해서 일반적으로 0.5 를 더해주거나 또는 빼어 준다. 즉 이항확률변수가 a 에서 b 사이에 있을 확률을 구하기 위해서 정규확률변수로 대응시켜야 하는 값은 각각 a - 0.5 와 b + 0.5 이다. 앞의 예에서 제시하고 있는 이항확률변수 X 가 15 에서 18 사이에 값을 갖게 될 확률을 구하는 문제이다. 그러므로 정규분포로 접근시킬 때에는 연속성 수정을 위해 정규확률변수로 대응되는 값은 14.5 에서 18.5 사이에 확률을 구해야 한다.

제 4 장에서 설명한 바와 같이 이항확률변수 X 의 기대치는 nㆍπ 이고 분산은 nㆍπ(1 – π) 이다. 예로부터 n = 100 이고 π = 0.20 이므로 이항확률변수 X 는 기대치가 20 이고 분산은 16 임을 알 수 있다. 그런데 표본 크기가 충분히 크기 때문에 정규분포로 접근시켜 확률을 구한다. 무수히 많은 표본을 뽑는다면 근시인 학생 수는 확률변수 X 로서 평균이 20 이고 분산이 16 인 정규분포에 접근한다. 따라서 P(15 ≤ X ≤ 18) 은 연속성 수정하여 P(14.5 ≤ X ≤ 18.5) 로 구한다.

P(14.5 ≤ X ≤ 18.5) ; 표준화 시킨다.

= P(-1.38 ≤ Z ≤ -0.38) ; 좌우대칭분포이므로

= P(0.0 ≤ Z ≤ 1.38) – P(0.0 ≤ Z ≤ 0.38) ; 표준정규분포로부터 값을 구하면

= 0.4162 – 0.1480

= 0.2682

따라서 중ㆍ고교생 가운데서 100 명을 뽑았을 때 근시인 학생이 15 명에서 18 명 사이로 나타날 확률은 26.82 % 이다.

예제 5

우리나라에서 양력을 처음 쓰기 시작한 것은 고종 32 년 (1896 년) 이다. 우리 겨레가 옛날부터 사용하던 '태음력' 이 서양의 '태양력' 으로 바뀐 것이다. 그렇지만 왕실이나 서민계층에서는 명절ㆍ생일ㆍ제사 등을 기념할 때에는 음력을 사용하여왔다. 그러다가 양력을 사용할 것이 강요되었는데 바로 일제시대였다. 일제가 우리 고유한 풍습과 문화를 파멸하기 위한 교묘한 술책의 하나였다. 그래서 일제시대 때 서민층에서는 양력을 사용하는 것에 대하여 거부감이 대단하였다. 하지만 오늘날 우리나라 청소년들은 대부분 자기 생일을 양력 날짜로만 알고 있다. 청소년 가운데 자기 생일을 음력 날짜로도 알고 있는 비율은 10 % 라고 한다. 그렇다면 청소년 100 명을 표본 추출했을 때 자기 생일을 음력 날짜로도 알고 있는 청소년이 12 명 이상으로 나타날 확률은 얼마인가?

풀이 5

자기 생일을 음력 날짜로 알고 있는지 모르는지 두 가지 현상만 나타나는 이항분포이다. 생일을 음력 날짜로 알고 있는 청소년 수를 확률변수 X 라 하자. 그러면 X 는 이항확률변수이다. 예제로부터 n = 100, π = 0.10 이므로 X 의 평균과 분산을 구한다. μ = E(X) = nㆍπ = 100(0.10) = 10 σ2(X) = nㆍπㆍ(1 – π) = 100(0.10)(0.90) = 9 그러면 확률변수 X 가 12 이상의 값을 갖게 될 확률을 쉽게 구할 수 있다. 표본이 충분히 크기 때문에 이항분포를 정규분포로 접근시켜 확률을 구할 수 있다. P(X ≥ 12) ; 연속성 수정을 한다. P(X ≥ 11.5) ; 표준화 시킨다.  ; 분산이 9 이므로 표준편차는 3 이다. = P (Z ≤ 0.5) = 0.5 – P(0 ≤ Z ≤ 0.5) =0.5 – 0.1915 = 0.3085 따라서 음력 날짜로도 생일을 알고 있는 청소년이 12 명 이상으로 나타날 확률은 30.85 % 이다.