수학적 귀납법 : Mathematical Induction

Mathematical Induction

수학적 귀납법 : 김홍종 : ...... 삼각형에는 직각삼각형, 예각삼각형, 둔각삼각형, 정삼각형, 이등변삼각형 등 여러 가지 종류가 있다. 이런 것들의 내각을 일일이 조사하여 보면 그 합이 항상 180도 라는 것을 알 수 있다. 이와 같이 경험에 의하여 "삼각형의 내각의 합은 항상 180도이다"라고 말하면 귀납법(歸納法, Induction)을 사용한 결론이 되고, 경험에 의존하지 않고 다른 근본적인 이유에서 유도되는 논리적 결과로 이해한다면 연역법(演繹法, deduction)을 사용한 것이 된다.

수학적 귀납법은 연역법의 일종으로 여러 가지 명제를 동시에 증명할 때 사용하는 방법이다. 수학적 귀납법을 사용하기 위해서는 여러 가지 명제가 서로 이어져 있어서 한 명제 다음에 또 한 명제가 있고, 그 명제 다음에 또 한 명제가 계속 이어져 있는 상황이라야 한다. (수학적 귀납법은 유한 개의 명제가 이어져 있어 마지막 명제가 있는 경우에도 작용할 수 있다.) 이때 다음 두 가지

1. 한 명제가 참이라고 가정하면, 그 다음 명제도 참이다.

2. 맨 처음 명제는 참이다.

를 보여서 모든 명제가 참이라는 것을 증명하는 방법이 바로 수학적 귀납법이다. 잠겨져 있는 금고가 계속 이어져 있다고 하자. 두 번째 이후의 금고의 열쇠는 그 앞 금고 속에 들었다고 하자. 그러므로 한 금고만 열 수 있다면, 그 다음 금고를 여는 데에는 아무런 문제가 없다. 첫 번째 금고만 열 수 있다면, 모든 금고는 열리게 된다. ......

수학사랑 : 수학적 귀납법은 일반적인 귀납법과는 약간 다르다는 점입니다. 국어시간에 배운 대로 추론에는 연역법 과 귀납법이 있습니다. 연역법은 가정에서 부터 논리적인 단계를 거쳐 결론을 유도하는 것이고 귀납법은 여러 구체적인 사례를 조사하여 어떤 결론은 얻는 방법입니다 ............ 그런데 수학에서는 이런 귀납법은 별로 쓰이지 않습니다. 예를 들어 1+2+3+...+n = {n(n+1)}/2 라는 공식이 있습니다. 이 식에 n=1 을 넣어보면 1={1*2}/2 가 되니깐 공식은 맞고, n=2 를 넣어보면 1+2 = {2*3}/2 가 되어 공식은 맞습니다. 계속해서 n=3,4,5,...10 까지 넣어보아도 역시 공식은 성립합니다. 처음 10개의 자연수에 대해서 위의 공식이 성립한다고 해서 임의의 자연수에 대해서도 위의 공식이 성립한다고 말할 수 있을까 생각하면 그렇지 않을 것입니다. 즉 10개의 사례로 부터 1+2+3+...+n={n(n+1)}/2 이 임의의 자연수 n 에 대해서 성립한다고 말할 수는 없습니다. 누가 n=500 일 때에도 성립하냐고 물어보면 또 n=500 일때 맞는지 확인해야 하는 어려움이 있습니다. 요약하자면 구체적인 사례를 조사하는 것은 문제를 확인하는 방법이 될 수는 있지만 문제를 증명하는 것은 안됩니다 ........ 1+2+3+...+n = {n(n+1)}/2 이 모든 자연수 n 에 대해서 성립한다는 것을 보이려면 어떻게 해야 할까요? 우선 n=1 일때 공식이 잘 성립한다 는 것을 알아야 합니다. 그리고 " n = k 일 때 이 공식이 성립하면(이것을 가정하고) n = k+1 일때도 이 공식이 성립한다(이것을 결론으로 얻어야합니다)" 라는 사실을 알아야(증명해야) 합니다 .............

수학적귀납법 (Mathematical Induction) : Richard Johnsonbaugh : 우리의 증명은 두 단계로 구성된 수학적 귀납법을 이용하였다. 첫 번째는 일 때 그 문장이 참이라는 것을 보였다. 두 번째로 번째의 문장을 참이라고 보았을 때 번째 문장 또한 참이라는 것을 증명하였다. 번째 문장의 증명에 있어서 번째 문장의 사용을 인정한 것이며, 참으로 수학적 귀납법을 이용한 증명 비결은 번째의 문장들을 번째 문장과 관련시키는 것이다 ........ 다음에 수학적 귀납법의 원리를 형식화된 문장으로 소개한다.