Axiom

Turing 기계와 형식체계는 일대일 대응을 이룬다 ........... (Turing 기계 : 김홍종)

공리는 하나의 이론에서 증명 없이 바르다고 하는 명제, 즉 조건 없이 전제된 명제이다 ....... 논리학에서는 무증명명제(無證明命題) 라고도 한다. 수학에서의 공리는 유클리드의 《기하학원본》의 공준(公準) 및 공통개념에서 유래하며, 기하학을 수립해 가기 위한 전제조건으로 생각되는 것이다. 유클리드는 그의 ‘자명한 것이라고 생각되는 명제, 즉 증명을 요하지 않는 명확한 명제’ 중에서 기하학 특유의 명제를 공준, 보다 일반적인 것을 공리라고 하였다.

공리·공준을 각각 보통공리·요청(要請)이라고 일컬은 때도 있었으나, 뒷날 이들을 일괄해서 공리라고 규정지었다. 유클리드의 《기하학원본》에서는 이와 같은 공리와 정의만을 근거로 하여 논리적인 엄밀한 증명에 따라 기하학을 구성하였으며, 오랫동안 이것이 체계적인 학문의 전형처럼 생각되었다.

그러나 유클리드가 보여준 공리 중 '평행선의 공리'는 다른 어느 공리·공준보다도 표현이 길고 복잡해서 '자명한 이치'’라고 하는 데에 의문을 품게 하였다. 이 의문에서 비롯된 것이 비유클리드기하학이며, 이로 인해 수학자들에게 '공리'의 성격에 대한 반성의 기회를 주게 되어, 점차로 공리에서 '자명한 이치'라는 뜻이 약해지고, 단지 '이론의 기초로서 가정한 명제'를 그 이론의 공리라고 하게 되었다.

D.힐베르트는, 모든 이론은 엄밀한 공리적 방법으로 정립(定立)해야 한다는 생각을 발표하여 공리주의수학 (모든 수학의 이론은 몇 개의 공리에서 출발하여 엄밀한 추론에 의해 이루어져 있어야 한다고 하는 주장) 을 이끌어냈다. 현대의 수학은 모두 이 공리주의에 따라 수립되고 있다. 어떤 하나의 이론을 공리주의적 견지에서 정리하는 일을 공리화한다고 한다. 공리주의는 《기하학기초론：Grundlagen der Geometrie》(1899)으로 발표하였다. 이론의 기초인 가정(假定)을 공리라고 한다.

공리계 (axiomatic system) 는 수학적인 이론체계의 기초로서 설정된 명제들을 하나로 묶은 것 ...... 명제는 보통 단 1개로 되어 있지 않고 몇 개의 명제들로 이루어져 있다. 이런 명제들을 하나로 묶어서 그 이론의 공리계라고 한다. 이를테면, 유클리드 기하학을 정리한 D.힐베르트의 《기하학기초론》에서는 결합의 공리·순서의 공리·합동의 공리·평행선의 공리·연속성의 공리 등으로 일컬어지는 5개의 공리군으로 된 공리계를 들고 있다.

이들 각 군은 또 각각 몇 개의 공리로 이루어져 있다. 추상대수학에 관한 군(群:group)·환(環:ring)·체(體:field) 등의 대수계(代數系)를 결정하는 공리계는 ‘덧셈의 결합법칙’을 비롯하여 ‘곱셈의 결합법칙’‘분배법칙’ 등 연산의 여러 법칙 중 몇 개를 말한다. 특히 가환체는 연산의 법칙 전부를 공리계로 하고 있다.

site :

Yahoo 백과사전 : 공리 (axiom),   공리계 (axiomatic system),   공리주의 (axiomatism)

Wikipedia : Axiom