양화 명제

 

기호논리학 : 소광희 지음, 경문사, 1985, Page 205~221

 

37. 명제함수

38. 정언명제의 기호화

39. 비정언명제의 기호화

40. 관계명제의 기호화

 

37. 명제함수

앞에서 고찰한 바와 같이, diagram 방법은 삼단논법에 대해서는 매우 유효한 방법이다. 그러나 삼단논법은 꼭 세 개의 개념으로 이루어져야 한다는 기본조건을 가지고 있는데 추론이라는 것이 반드시 세 개의 개념으로만 구성되는 것도 아닐뿐더러 diagram 방법만이 유일한 검증방법이라 할 수도 없다. 이제 우리는 주어진 명제의 내적 구조를 분석함으로써 논리학의 추론영역을 확장하는 보다 일반적인 방법을 모색할 것이다. 예컨대,

의 명제는 어떤 대상(대전) 가 무엇(도시) 임을 말하고 있다. 일반적으로 명제의 내적 구조를 보면 명제가 주어와 술어로 구성되어 있음을 안다. 주어는 대개 '사물'을 지시하고 술어는 거기에 따르는 '성질'을 표시한다. 따라서 (1)은

라는 형식의 명제이다. 이때 F를 술어(predicater term)라고 부른다. 이제부터 (1)을

라고 쓰기로 한다. 예 하나를 더 들어서

를 보면, 이것은

라는 명제임을 알 수 있을 것이다. 그러면,

는 어떻게 기호화할 것인가? 소크라테스를 로 하면 (5)는

로 된다. '현명하다'를 , '사람이다'를 로 하면 (6)은

이것은 다시

이므로

로 됨을 알 수 있다.
  (2)에서 와 (9)에서 는 모두 고유명사로 일컬을 수 있는 구체적이고 개별적인 대상을 나타내고 있음에 주의해 두자. 이를 상수 (individual constants)이라 한다. 명제 (2)의 를 빈 칸으로 두면 (2)는

로 된다. (10)은 진위를 판정할 수 있는 명제가 아니다. 그 빈 칸에 어떤 대상의 이름을 넣으면 비로소 명제가 되는 그런 것이다. 예컨대 (   )에 '서울'을 넣으면 (10)은 진명제가 되지만, (10)에 소크라테스를 넣으면 위명제가 된다. 다시 말해서 (10)은 (   )에 무엇을 넣느냐에 따라서 진이거나 위인 명제가 되는 것이다. 이러한 형태의 불완전한 명제를 명제모형(statement matrix)이라고 한다. 그리고 (   )에 들어갈 대상의 이름이 결정되면 그것의 진리값도 결정되니 이것을 함수라 부른다. 명제에 포함되어 있는 (   )를 등의 변수를 써서 표시하기로 한다. 그러면 (10)은

로 표시된다. 이때 는 어떤 대상의 이름이 아님에 주의하자. 는 (10)에서의 (   )에 해당하는 것으로 어떤 이름이든지 그 자리에 넣어서 명제를 만들 수 있게 하는 변수이다. 이때 등의 변수는 개별적이고 구체적인 대상만이 들어갈 수 있는 자리를 뜻하므로, 구체적 대상()인 상수와 구별해서, 변수 (individual variable)이라고 부른다.
  그러나 모든 명제가 구체적이고 개별적인 대상에 관한 것은 아니다. 예컨대,

는 (2)나 (9)처럼 나 로 일컬어질 수 있는 개별적인 대상을 포함하고 있지 않다. (12)가 말하는 것은

라는 내용인 것이다. (13)은 어떤 대상의 이름도 포함하고 있지 않다. 오히려 (13)은 이름으로 일컬을 수 있는 모든 대상에 관하여 말하고 있다. (13)을 변수 를 사용해서 표현하면,

로 된다. 이것은 다시,

  여기서 와 는 가언적으로 연결되어 있으므로 (15)는 다시,

로 된다.
  이와 같이 주어 쪽을 변수()으로 하고 술어 쪽을 함수()로 하는 명제 모형을 명제함수(proposition function)라 한다.

38. 정언명제의 기호화

다음의 A, E, I, O 명제는 정언명제 의 종류이다.

를 가언명제로 만들면 뜻이 훨씬 명료해진다.

여기에서 '모든 에 대하여'라는 구는 ''로 표시하고 이것을 보편양화기호(uniiversal quantifier)라고 한다. 그러면 (2)는

'그것'을 변수 ''로 대치하면,

로 되며 '우주항공사'를 'A', '심한 훈련을 받는다'를 'T'로 표시하면,

다시   (이다) 마저 없애기 위하여 변수와  술어변수의 위치를 바꾸면

로 된다. 끝으로 가언을 표시하는 '⊃'을 사용해서

로 표시한다. 그러나 여기에서 '' 의 가 보편양화기호의 (즉 괄호 속의 ) 를 가리키는지 주어의 (즉 의 )를 가리키는지 애매하다. 여기에서는 주어의 를 가리킴이 확실하므로,

로 표시한다. 그리하여 양화기호는 그 뒤에 따르는 명제모형에 작용한다. 명제모형은 {[(  )]}로 묶어서 표시한다. 그러나 양화기호 뒤에 오는 명제모형이 논리적 결합기호를 갖지 않을 때는 이런 괄호는 편의상 생략된다. 그리고 변수가 양화기호와 같을 때는 양화기호에 의하여 구속된 것이라 하고, 같지 않은 것은 자유롭다고 한다. 즉 , 에서 는  구속 변수 (bound variable)이고     에서 는 자유변수 (free variable)이다.
다시 A 명제의 예로 돌아가자.

를 양화의 가언명제로 고치면,

보편양화기호 '()'와 변수 ''를 '그것'에 대입하면

여기에 'A', 'B', 'C'를 넣으면,

다시 가언형식으로 고치면,

그러나 (13)을 로 하는 것은 옳지 않다. 그 이유를 음미해 보자. 위의 (9)와 비슷한 것으로서

를 예로 들고, 이것을 (10)과 같은 형식으로 고치면,

로 된다. 보편양화기호와 변수를 대입하면,

(13)과 (19)를 비교하면 (9)와 (14)의 차이를 알 수 있다. 그것은 논리형식이 문법형식과 평행함을 알려 준다. 그러므로 문법형식에 있어서 하나 또는 그 이상의 주어의 수식어가 발견되면 술어를 표시하는 어떤 문자를 이 수식어에 따라서 대입시키면 된다.

주어는 '관대하든가 이해성 있는 사람'이고 술어는 그 나머지 부분이다. 이것은 곧 A명제, 즉

이기도 하다. 그러나 가언적 양화형식으로 고치면,

로 되고, '그것'에 를 넣으면,

로 된다. E명제를 보자.

  A, E는 전칭명제이므로 보편양화기호로 표시되었으나 I, O의 특칭명제는 어떤 집합의 원소의 일부 혹은 적어도 하나의 원소의 존재를 언표하는 것이므로 보편양화기호로 표시할 수 없다. 특칭명제는 '적어도 하나가 존재함'을 주장하므로 이것을 존재명제(exisitential statement)라고 한다. 그리하여

는

로 고칠 수 있다. 여기에서 '적어도 하나의 가 있고'는 로 표시되고 존재양화기호 (existential quantifier) 라 한다. 그러면 (38)은 다시,

       (39) 는 학생(A)이고 는 현명(B)하다.

로 표시된다. 다시 이것은

로 된다. 여기서 주의할 것은 전칭명제는 가언적으로 해석할 수 있기 때문에 "모든 학생은 현명하다"를 로 할 수 있으나, 특칭명제는 가언적 해석응 할 수 없기 때문에 로 해서는 안된다는 것이다.
가 진이 되려면 학생이 아니거나 적어도 한 사람의 현명한 자가 이 세상에 있다는 것이 보증되어야 한다. 그런데 와 동치인 는 "적어도 하나의 가 있고 그것이 학생이 아니거나 그것이 현명하거나 이다" 의 뜻이므로 ''는 (37)과는 다른 의미가 된다. 따라서 (37)은 로 되어야 한다.

를 보면,

로 되어 다시

로 된다. 다른 예를 보자.

로 된다.

  O명제의 예를 들어 보자.

이 명제는 두 가지로 해석할 수 있다. 즉

로 되어 (53a)는 I명제이고 (53b)는 O명제이다. 따라서 (53a)는 무시되어야 하고 (53b)는

로 될 것이다.

이상의 기본적인 명제모형을 정리하면 다음과 같다.

39. 비정언명제의 기호화

 ''는 보편양화기호를, ''는 존재양화기호를 표시하고 그리고 ''는 변수, ''와 ''는 술어를 표시한다고 하면 명제모형은 다음과 같이 표시되니 A와 E의 명제 모형은 가언적이고 I, O는  연언적임을 알 수 있다.

그러나 위와 같은 정언명제 모형으로 표현되지 않는 명제도 있다. 다음의 명제를 명제모형으로 표시해 보자.

(3)과 (6)을 위와 같이 표현하면 다음과 같다.

이것은 앞에 말한 정언명제와는 다르다.

이상은 원자명제이거니와 분자명제의 경우는 아래와 같다.

이것은 두 I명제의 결합이다. 따라서

이 된다. 여기서 잘못하면 로 한다든가, 로 하기 쉬운데 그것은 잘못이다. 그것은 어떤 도형이 원형이고 사각형임을 언표하는 것이 되기 때문이다.

(14) 파와 당근은 식용이다.
(15) 모든 에 대하여 그것이 파(A)이고 그것이 당근(B)이라면 그것은 식용(C)이다.
(16)

그러나 이것은 옳지 않다. (15)는 분자명제이기 때문에 (17)과 같이 고쳐져야 옳다.

(17) 파는 식용이고 당근은 식용이다.

따라서

로 되어야 옳다. 다른 형식으로 표시하면,

가 된다.
부정의 경우를 보자.

는 A명제이므로 이다. 이것의 부정은

로 된다. 여기서 주의할 것은, (22)는 E명제가 아니라는 점이다. (21)의 부정은

즉 O 명제라야 한다. 또 (22)의 괄호 [ ]는 필요없다.
(23)은

로 기호화된다. 여기서 우리는 (22)와 (24)가 논리적 동치가 되어야 함을 예상할 수 있다.

이 분자명제를 원자명제로 나눠서 먼저 뒷 부분을 보면,

여기에 '이군(l)이 연설(S)한다면'을 첨가해서

로 된다.

'R교수()는 과제(C)를 냈다'는 원자명제는 ''이므로

가 된다.

40. 관계명제의 기호화

기술언어에는 우리가 지금까지 다루어 온 것 이외에 개체들 사이의 관계를 표시하는 것이 있다. "이군이 박군에게 말한다"는 것 따위가 그것이다. 여기에 두 가지의 관례가 있다. 하나는 '에게 말한다'는 관계술어(relational predicate)이며, 다른 하나는 이군과 박군 '사이' 즉 변수, 상수들 사이의 관계가 그것이다. 특히 '' 와 '' 사이의 관계가 문제다. 전자부터 살펴보자.

에서 '에게 말한다'를 'T', '이군'을 '', '박군'을 'p'로 약정하면 다음과 같이 기호로 표시할 수 있다.

여기에서 ''의 순서를 ''로 하면 '박군이 이군에게' 말하는 것으로 된다. 따라서 순서가 중요하다.

의 경우도 전례와 마찬가지로

로 쓴다.

  다음에는 ()와 또는 ()와 , 와 등 존재양화기호 및 거기에 따르는 변수들과의 관계를 살펴보기로 하자.

' 가 A 이면'은  ''로 되겠거니와, " 는 일부의 사람들에게 말한다"를 보면

로 될 것이다. 여기의 '일부의 사람들'은 듣는 사람이므로 화자인 '' 와는 구별된다. 이것을 'y' 라고 하면 (20)은 특칭명제이므로 존재양화기호를 써서,

로 할 수 있고, '말한다'를 'T'라고 하면 (21)은 다시

이다. (22)를 (19)에 넣으면

가 된다.

(26)의 '는 사람(A)이고'까지는 로 된다. 그런데 뒷 부분 "는 모든 사람에게 말한다(T)"를 보면,

로 된다. '모든 경우에 대하여'를 ''로 하면,

이다. (28)을 (26)에 넣으면,

로 된다.

'모든 경우에 있어서'는 ()이므로

로 되는데, "가 어떤 원을 그린다"는

이다. 다시 나머지 부분 "는 어떠한 도형을 그린다"는

로 된다. 따라서 (34)와 (36)을 모아서 하나의 명제식으로 만들면,

이고, 이것을 다시 (32)에 넣으면,

로 된다.
위와 같이 하여 관계명제를 기호화할 수 있다. 경우에 따라서 도 있을 수 있겠는데, 이것은 예컨대 "모든 사람이 모든 사람에게 말한다"이므로 로 해도 무방하다. 화자도 청자도 다같이 '모든사람' 이기 때문이다. 그와 마찬가지로 는 로 해도 무방하다. '' 를 '약간의 사람', '' 를 '약간의 사람'이라고 한다면 '약간의 사람이 약간의 사람에게 말한다'는 것은 논리적으로는 그 역이 가능하기 때문이다. 그러나

를 보면 이것은

이다. 여기에서 '어떤 사람들'을 'y'라 하면,

로 된다. 여기에서 는 () 의 영향 아래 있다는 것, 즉() 가 앞에 온다는 것에 주의해야 한다. (43)에서는 '()'가 동일한 'y'에게 말할 수도 있고 '' 자신에게 말할 수도 있다. 그러나 (39)를 ' 처럼 표시하면 (43)과는 다른 뜻이 된다. 여기서는 '' 가 의 영향 아래 있으므로 '()' 는 동일한 'y'에게 말한다는 의미가 된다. 그러므로 () 와 는 순서를 서로 바꿀 수 없다. 따라서 () 와 는 문맥에 따라 주의하여 결합시켜야 한다.

를 상정하고 다음의 명제식을 우리말로 고쳐 보자.

먼저 '' 즉 가장 적은 부분부터 시작하면 (46), (47)과 같다.

즉

다음 ''를 옮기면 (48), (49)와 같다.

따라서, ''는 (50), (51)로 된다.

(51)과 (47)을 고려하고 이것을 (45)에 넣으면 아래와 같은 문장이 된다.