논리 와 Fuzziness

 

퍼지 이론해설 : 퍼지기술연구회 편, 기전연구사, 1992, Page 181~224

 

논리의 계통

현대 논리학과 고전 논리학

비고전 논리

비고전 논리로서의 퍼지 논리

퍼지 술어와 수식 작용소

퍼지 논리의 연산

퍼지 진리값

진리값 한정

거짓말쟁이의 모순

퍼지 추론

대머리의 모순

퍼지 관계의 합성에 의한 추론

퍼지 확률, 퍼지 가능성, 퍼지 한량 작용소

경향과 상식 추론

 

논리에 퍼지 집합 개념을 통해서 『애매성』을 도입한 것을 퍼지 논리라고 한다. 『애매성』은 논리의 여러 가지 측면에 도입한다. 논리라고 한 마디로 말해도 여러 가지 견해가 있지만 여기서는 명제의 진위 판단을 취급해 추론을 하는 체계로 생각하기로 한다. 

논리의 계통

논리학이라고 하면 누구나 회상하는 것은 아리스토텔레스의 삼단논법일 것이다. 『인간은 죽는다』 그리고 『소크라테스는 인간이다』 그러므로 『소크라테스는 죽는다』라는 추리의 방법이다. 아리스토텔레스 (기원 전 384~322) 는 서양 논리학의 기초를 만들고 그 흐름은 형식 논리학을 지나서 현대수학의 기호 논리학에까지 이르고 있다.

논리의 계통을 대별하면 고전 논리와 비고전 논리로 구분된다. 이 차이는 고전 논리에서는 배중률이 성립하고 비고전 논리에서는 배중률이 성립하지 않는다는데 있다. 2 값 논리는 배중률 (중이란 참, 거짓의 중간인 세 번째 값을 말한다) 이 성립되는 논리이므로 고전 논리와 비고전 논리의 차이는 2 값 논리와 다값 논리의 차이라고 보아도 된다. 아리스토텔레스의 논리학의 집대성인 형식 논리는 물론, 현대수학의 근간을 이루는 현대 논리학이라고 하는 기호 논리학도 이 의미에서는 고전 논리로 분류된다. 비고전 논리에는 블로어에 시작하는 직관주의 논리 (수학에 대한 하나의 입장인 직관주의를 지지하는 논리인데 배중률을 인정하지 않는다). 양상 논리, 확률 논리 및 여러 가지 다값 논리가 있다. 퍼지 논리는 물론 비고전 논리의 계통에 속하는 것이다.

애초, 논리학이란 올바른 판단이나 올바른 추론을 하기 위한 규칙을 다룸으로써 인간 사고의 절차를 만들려는 것이다. 아리스토텔레스의 논리학은 지식을 획득하는 방법 (연역과 귀납) 으로서 생각된 것이지만 사고의 내용과 형식은 점차 분류되어 중세 스콜라 철학에 의해서 형식 논리학 (연역 논리학) 으로서 정립되기에 이르렀다. 아리스토텔레스는 논리학의 세 가지 요소로 개념, 판단, 추론을 생각했다. 논리학의 명제에 나타나는 개념의 분류에 대해서는 언어와 애매성에서 아리스토텔레스와 칸트의 카테고리론으로서 언급했다. 일반적으로 개념은 의미와 대상이라는 두 개의 측면을 내재하고 있다. 『의미』란 개념의 내포, 적용 조건으로, 예를 들면 『과실』=『초목의 열매로 먹을 수 있는 것』과 같은 것이다. 한편, 『대상』이란 개념의 외연, 적용되는 대상의 모임으로 예를 들면 『과실』=『사과, 귤, 바나나, ...』를 말한다.
판단 (judgement) 이란 무엇인가를 참으로 생각하는 것, 더 상세히 말하면 두 개의 개념이 일치하는가, 어떤가를 단정하는 것이며 이것은 현대 논리학에서는 명제 (proposition) 라는 것이다. 명제는 주어와 술어 (개념) 및 이 두 개를 연결하는 관계로 되어있다. 칸트는 12 개의 판단형식을 생각하지만 대별하면 를 주어, 를, 술어로 해서 다음 네 개가 된다.

추리란 현대 논리에서는 추론이라는 것으로 직접 추리와 간접 추리가 있다. 직접 추리란 예를 들면 『모든 는 다』라는 것이 참일 때 『어떤 는 가 아니다』는 것은 거짓이라는 것을 추리 (대상 추리라고도 한다) 하는 것이다. 간접 추리란 전술한 삼단논법으로

를 추론하는 것이다. 삼단논법에는 몇 가지 형식이 있지만 이 예의 형식은

그러므로

라는 것이다. 는 대개념, 은 중개념 (매개 개념), 는 소개념이라고 한다. 여기서 대중소는 개념 대상의 넓이를 가리킨다.
고전 이론에서는 명제의 진위는 2 값적이고 진리값으로서 1 (참을 의미한다) 과 0 (거짓을 의미한다) 만을 취한다. 이른 바 고전 논리의 3 대 원칙이란 내용에 관계없이 참인 명제로, 동일률, 모순율, 배중률을 말한다.
동일률은

모순율은

배중률은

라는 형식의 것이다. 집합과 퍼지네스에서 본 것처럼 모순율과 배중률은 드ㆍ모르간율과 이중 부정률이 성립한다고 하면 동일한 것의 다른 표현이다. 배중률은 와 비 간의 중간 개념 (진리값으로 말하면 1 과 0 의 중간값) 의 존재를 인정하지 않는 것으로 전술한 것처럼 이것이 고전 논리와 비고전 논리를 구별시키고 있다.
인도의 불교 논리에도 오분작법이라는 추리법이 있다. 예를 들면

라는 것이다. 오분작법을 삼단논법과 같은 삼지작법이라는 것으로 정리한 디그너거 (400~480, 인도의 철학자) 는

와 같은 추리를 해 배중률을 반드시 인정하지도 않았다. 배중률에 의하면 『왜냐하면』이하의 이유는 거짓이다.
모순율의 와 비 , 배중률의 와 비 는 서로 모순 개념이라고 한다 (우리도 어떤 개념의 모순 개념을 표시할 말이 없는 경우에는 접두어 『비』를 붙여서 표시한다). 모순 개념은 『생과 죽음』『유와 무』처럼 중간 개념이 존재하지 않는 개념이다. 이것과 유사한 것에 상관 개념과 반대 개념이 있다. 상관 개념이란 『남편과 처』『부모와 자식』처럼 서로가 상대의 존재를 가정해서 성립하는 개념을 말하면 반대 개념이란 『빛과 어둠』『현명과 우둔』처럼, 어떤 성질의 양 극단을 가리키는 개념이다. 반대 개념은 모순 개념과 비슷해서 혼돈하기 쉽지만 모순 개념과 다른 것은 중간 개념의 존재를 허용하는 것이다.

 

현대 논리학과 고전 논리학

현대 논리학은 고전 논리학에 기호를 전면적으로 도입함으로써 순화한 것이다. 고전 논리와의 주된 상위점을 살펴보자. 먼저 개념은 『무엇 (요소)』과 『무엇의 집합』을 준변한다. 명제는 이것 이상 분할할 수 없는 기본 명제를 생각하고 이들의 결합에 의해서 복합 명제를 구성한다. 또 고전 이론에서는 명제는 전칭 명제와 특징 명제로 구분되었지만 현대 논리에서는 전칭, 특징(『존재』라고도 함) 에 상당하는 한량 기호는 항상 붙는다고 할 수 없다.
기본 명제란 무엇이 어떤 집합에 속하는 것을 가리키는 명제, 예를 들면 『2 (무엇) 는 짝수 (우수) 다』와 무엇과 무엇의 관계를 가리키는 명제, 예를 들면 『2 는 3 보다 작다』와 같은 형태의 것이다. 후자의 명제도 전장에서 본 것처럼 『관계』를 표시하는 집합을 사용하면 전자에 귀결한다. 일반적으로 명제의 내용은

이거나 또는

를 표시한다고 생각해도 좋다. 예를 들면 『소크라테스는 인간이다』는 (소크라테스) 가 (인간의 집합) 의 요소라는 것, 또 『인간은 동물이다』는 (인간의 집합) 가 (동물의 집합) 에 포함되는 것을 나타낸다.
현대 논리학의 기호 논리학이라고도 하는 까닭은 기호를 사용하는 데 있지만 『명제』는

등으로 표시되며 명제와 명제를 연결하는 『논리어』는

등으로 표시된다. 여기서

는 의 부정 (모순 개념) 을 나타내고

는 각각 논리곱 (and), 논리합 (or) 이다.

는 합의라고도 해 『만약   이면 』를 가리킨다.
또 낱개인 무엇을 가리키는 『대상 변수』를

로 표시하고 성질이나 관계를 나타내는 『술어 변수』를

로 표시한다.

등은 각각 『 는 이다 (성질 를 가진다)』라든가 『 는 와 관계 에 있다』는 것을 의미한다. 특히 『 는 다』는 집합의 내포적 정의가 된다. 즉

라고 하면 집합 가 정의된다. 여기서 대신에 기호 를 집합의 명칭으로 해도 좋으므로 성질 란 집합이라고 생각해도 좋다. 예를 들면 『짝수라는 성질』는 『짝수로 된 집합』과 동일시할 수 있다.
한량 작용소 (한량 기호) 에는 전칭 작용소와 존재 작용소

의 두 가지가 있고 예를 들면

는 『모두 는 다』라는 것을 의미하고

는 『 인 가 존재한다』를 의미한다. 이들 형태의 명제를 각각 전칭 명제, 존재 명제라고 한다. ∀ 와 ∃ 의 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

최초의 관계는 『모든 는 다』 =『 가 아닌 는 존재하지 않는다』

표 1




를, 두 번재 관계는 『 인 가 존재한다』= 『모든 가 가 아니라는 것은 없다』를 의미한다.
명제 의 진리값 (1 이나 0) 을

로 표시하면 논리어로 연결된 복합 명제 (논리식이라고 하는) 의 진리값은 표 1 처럼 된다. 단 표의 우변 ∧ 와 ∨ 는 집합의 퍼지네스의 퍼지 집합론에서 사용된다. 두 개 값 중 작은쪽과 큰쪽을 나타내는 기호다. 곧 알 수 있듯이 네 개의 논리식 중, 독립인 것은 두 개다. → 는 ￢ 도 ∨을 사용해서

로 표시된다. 또 ∧ 도 ￢ 과 ∨ 을 사용해서

로 표시된다. 덧붙여서 말하면 동등 관계 ←――→ 라는 것은

←――→ ←――→ ←――→

표 2

――→

←――→

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

 표 3

1

1

1

0

1

1

로 표시된다. 복합 명제의 진리값이 구체적으로 어떻게 되는가는 진리값표라는 것을 만들면 알기 쉽다. 진리값표는 등의 진리값을 조합해서 복합 명제의 진리값이 어떻게 변하는가를 가리키는 것이다. 표 2 에 예를 든다.
문제의 모순율과 배중률은 각각

로 표시되지만 진리값표는 표 3 처럼 된다. 즉 명제의 의 진위에 관계없이 항상 참이다 (모순율, 배중률이 성립한다). 항상 참인 것과 같은 논리식을 항진 논리식이라고 한다.
추론 (inference, reasoning) 은 추론 규칙이라는 모더스ㆍ포넨츠 (modus ponens) 와 모더스ㆍ톨렌츠 (modus tollens) 에 의해서 행해진다. 이것들은 표 4 처럼 표시된다. 모더스ㆍ포넨츠는 가로선 위에 쓰여진 전제 1 () 와 전제 2 () 가 참일 때, 는 참이라는 것을 추론하는 것이다. 다음, 를 전제, 가로선 아래의 를 결론이라고 한다. 더구나 함의 의 는 전건, 는 후건이라고 한다. 모더스ㆍ톨렌츠는 이른 바 대우로, 함의의 후건 가 참이 아닐 때 전건 가 참이 아닌 것을 추론하는 것이다. 이것은

가 동등하다는 것에 의한다.

표 4

modus ponens

 

modus tollens

 

다음 ① 전제와 ② 함의에서 ③ 결론을 유도하는 추론은 모더스ㆍ포넨츠의 예다.

또 다음 ①, ②에서 ③ 을 추론하는 것은 모더스ㆍ톨렌츠의 예다.

그런데 아리스토텔레스 시대에는 논리학은 아직 일상 언어의 세계였다. 논리학은 일상 용어의 용법을 엄밀하게 한 것 뿐이다. 일상언어라고 여기서 말하는 의미는 그 현실 세계성 즉 존재와의 대응성이다. 그러나 논리학이 형식화되고 라이프니츠가 드디어 보편적 기호법을 생각하기에 이르자 양상은 일변했다. 논리학의 언어는 이미 일상 언어와 관계없는 기호이며 이것에 의해서 마땅히 현대 논리학이 성립된다. 즉 일상 언어의 논리가 아니기 때문에 일상 언어를 버린 현대 논리학은 현실 세계와의 대응을 상실한다. 진리성이란 사실의 진리성이 아니라 형식의 타당성에 불과하다.
현대 논리학의 방법은 공리계 (공리는 선천적으로 참으로 간주되는 논리식) 을 부여해서 항진 논리식을 연역적으로 유도한다는 것이다. 비고전 논리도 이 점에서는 동일하고 어느 공리계를 선택하는가는 논리의 차이가 되어 나타난다. 단, 퍼지 논리는 공리주의적 방법을 반드시 취하는 것이 아니므로 공리 문제에 대해서는 여기서 언급하지 않기로 한다.

 

비고전 논리

다값 논리라는 것은 일반적으로 셋 이상의 진리값을 가진 논리를 말한다. 예를 들면 3 값 논리에서는 진리값은 1, 0 이외에 『알 수 없다』에 상당하는 1/2 이 있다. 특히 무한값 논리에서 진리값은 0 에서 1 까지의 사이에 있는 임의의 실수를 취한다. 잘 알려진 것에 루카셰비치의 무한값 논리가 있다. 명제 의 진리값을 로 표시하면 복합명제의 진리값은 표 5 처럼 주어진다. 퍼지 집합론은 이 루카셰비치 논리에 그 기초를 둔다고 할 때도 있다.
확률 논리라는 것은 라이헨바흐에 의하면 진리값을 확률로 해석하는 것이다. 즉 명제가 참인 확률을 생각한다.

표 5 루카셰비치 논리




카르너프가 연구한 귀납 논리에서는 가설의 확증 정도가 0 에서 2 까지의 수치로 표시된다.
루이스로 대표되는 양상 논리는 진위 외에 판단 『가능성』과 『필연성』의 양상을 도입한 것이다. 예를 들면

를 의미하는 기호 ◇ 와 □ 을 사용한다. 둘 사이에는

라는 관계가 있다. 즉 『 가 가능』이란 『 가 아닌 () 것은 필연이 아니다 (￢□) 』라는 것과 동일하고 『 는 필연적이다』는 『 가 아닌 것은 가능이 아니다 (￢◇)』라는 것과 같다. 형식적으로 ∀ 와 ∃ 의 관계와 같은 관계를 여기에 볼 수 있다. 가능성과 필연성의 이 관계는 바로 확률과 퍼지네스에서 본 퍼지 측도론에서의 『가능성 측도』와 『필연성 측도』의 관계와 같다. 여기에 논리와 퍼지 측도의 접점을 볼 수 있다. 즉

확률 ⇒ 확률이론

의 대응을 넘어서 양상 이론을 근거로 해서

퍼지 측도 ⇒ 퍼지 측도 논리

라는 도식이 상정된다. 확률 논리는 진리값을 단지 확률도 바꾸어 놓은 것이지만 양상 논리에서는 진위의 외에 명제의 가능성, 필연성 등의 양상을 문제로 하고 있다. 그래서 이것을 확장해서 진리값 외에 퍼지 측도의 값을 생각하는 퍼지 측도 논리가 존재할 수 있다. 그러나 지금부터 전개하는 퍼지 논리는 반드시 이 도식에 의한 것은 아니다.

 

비고전 논리로서의 퍼지 논리

퍼지 논리라고 해도 여러 가지 생각 방식이 있고 체계가 있는 것은 아니다. 비고전 논리로서의 성격을 가지기 때문에 당연히, 배중률 (보통은 모순율도) 은 성립되지 않는다. 그러나 기호 논리와의 최대의 차이는 배중률이 이러니 저러니하기 이전에 기호 논리가 명제의 의미 내용에 일체 관계하지 않는데 대해서 퍼지 논리가 퍼지 집합 개념에 의해서 명제의 의미 내용을 문제하는 일이다. 양상 논리에서는 가능성이나 필연성의 판단을 통해서 의미를 약간 생각했다고 할 수 있다. 퍼지 논리에서는 의미의 깊이가 다르다. 그리고 절대로 몰의미적이 아닌 일상 언어에 의한 언설로서의 명제가 취급된다. 즉 퍼지 논리의 기도는 논리학을 다시 일상 언어의 세계에 복귀시키는 것이다.
이렇게 함으로써 현실 세계와의 대응을 회복하는 것이다. 퍼지 논리가 사고의 모델화를 지향한다는 것은 이것을 의미한다.
가장 프리머티브 (primitive : 원시적) 한 퍼지 논리는

라는 명제 (는 큰 수라든가 키가 낮다든가, 퍼지 집합으로 표시되는 말) 의 진리값을

즉, 에서의 의 그레이드 (멤버십값) 로 해석하는 것이다. 생각은 확률 논리에 닮았다. 퍼지 집합론의 연산을 멤버십 함수에 의해서 그대로 도입하면 물론 집합과 퍼지네스에서 가리킨 것처럼 배중률도 성립하지 않는다. 어떤 학자는 단지 이 퍼지 논리에서도 부정의 정의를 바꾸면 (이중 부정의 법칙은 성립되지 않는다) 직관주의 논리의 모순율도 하나인 하이팅 논리의 틀에 들어가 모순율이 성립되도록 할 수 있다고 지적하고 있다. 표 5 의 루카셰비치 논리에서는 의 진리값은

로 정의되므로

였다. 그러나 하이팅 논리에서는

로 정의되므로 즉시 알 수 있도록

이 되어 배중률은 성립되지 않지만 모순율은 성립한다.
여기서 문제되는 것은 배중률은 좋지만 모순율이 성립되지 않는 것은 논리라고 인정되지 않는다는 것이다. 그러나 진리값을 단지 멤버십의 그레이드로 바꾸어 놓는다 (확률 논리도 그렇지만) 는 것은 지금부터 설명하는 퍼지 논리의 본질을 가리키는 것은 아니다. 또 기호 논리가 집합론의 기초라고 불리우는 것과 같은 의미에서 퍼지 논리는 퍼지 집합론의 기초가 아니다. 오히려 반대로 퍼지 집합론이 퍼지 논리의 기초다.

 

퍼지 술어와 수식 작용소

퍼지 논리의 첫째 특징은 퍼지 집합에 의해서 표시되는 퍼지 술어를 취급하는 일이다. 주어와 퍼지 술어로 되는 명제를 퍼지 명제라고 한다. 명제는 기호 논리와 동일하게 기본 명제에서 복합 명제를 구성한다는 방법이 채택된다. 단지 술어의 수식이라는 새로운 생각이 사용된다.

라는 퍼지 술어 『작다』를 가진 기본 명제가 있을 때

동의 명제를 처음 명제의 술어를 수식함으로써 구성하려는 것이다. 『약간』『아주』등을 술어 수식 작용소 (predicate modifier) 라고 한다. 단 『않다』는 부정사로 술어 장식 작용소가 아니지만 형식적으로 그렇게 간주된다. 일반적으로 표시하면

에 술어 수식 작용소 을 작용시키면

가 되어  와  으로 만들어진 퍼지 집합

의 멤버십 함수는 예를 들면

처럼 구해진다. 이들 멤버십 함수는 그림 1 처럼 된다. 그림을 보면 『작다』와 『약간 작다』『아주 작다』등의 의미의 상위를 알 수 있을 것이다. 여기서 『약간』은 영어의 more or less 에, 『아주』는 very 에 대응하는 말이다.

그림 1

이 『약간』『아주』『않다』일 때 특히

처럼 쓸 때가 있다. 는 퍼지 집합 의 보집합을 표시한다. 그래서

 

를 의미한다. 술어 수식 작용소의 작용 (연산) 를 어떻게 정의하는가는 의미를 생각하는 사람에 따른다.
논리어로는 ￢, and, or, → 등이 사용된다. ∧, ∨ 대신에 and, or 를 사용하는 것은 일상 언어를 의식한 것이다.

 

퍼지 논리의 연산

논리어에 의한 논리 연산에 대해서 2 값 논리와 퍼지 논리의 큰차이는 전자는 논리 연산의 수가 유한 (16개) 인데 대해서 후자는 무한하다는 것이다. 2 값 논리에서는 ￢ 와 ∧, ￢ 와 ∨ 또는 ￢ 와 → 의 두 개 만으로 모든 논리 연산이 표시된다. 그러나 퍼지 논리에서는 이미 이러한 것은 없다.
함의는 『if ... then....』또는 『만약...이면...』지만 간단하게 하기 위해 기호 →를 사용하기로 한다.
먼저

와 같이 and 와 or 는 각각 퍼지 집합의 공통집합, 합집합 개념을 사용해서 표시된다.
여기서 예를 하나 생각하자.

라는 퍼지 복합명제는

로 표시된다.
그런데 and, or 가 연결하는 명제의 주어가 다른 경우는 → 도 그렇지만 퍼지 관계의 개념을 사용해서 표현한다. 예를 들면

여기서 , 는 그림 2 (알기 쉽게 크리스프로 표시했다) 에 가리킨 것과 같은 영역으로 표시되는 퍼지 관계다. 특히 은 퍼지 직적 집합에 의해서

로 표시된다. 단 와 의 퍼지 직접집합이란 크리스프 직적집합의 확장으로 그 멤버십 함수는

이다. 예를 들면 『큰 씨름꾼』등의 『큰』이라는 개념은

처럼 = 신장과 = 체중의 2 차원 공간에서의 직접 개념으로 이해될 것이다.

의 멤버십 관계는 다음과 같다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그림 2

또 함수의 『만약 가 작다면 는 크다』처럼 와 의 퍼지 관계로 간주할 수 있어서 의 멤버십 함수는, 예를 들면 루카세비치의 함의를 사용해서

로 표시된다. 표현은 한 가지뿐이 아니다.
또 『 는 보다 아주 작다』처럼 최초부터 퍼지 관계를 사용해서 표현되는 기본 명제도 있다. 즉

이 예는 전장에서 본 대로다.

 

퍼지 진리값

퍼지 논리에는 다값 논리의 퍼지화로서의 퍼지 논리라고 받아들이는 방식도 있다. 예를 들면 루카셰비치 논리의 퍼지화와 퍼지 추론의 연구가 있다. 논리의 퍼지화라는 것은 수치로서의 진리값 대신에 퍼지 집합으로 표시되는 것을 생각하는 일이다. 루카셰비치의 무한값 논리의 진리값은 이미 본 것처럼 0에서 1 까지 사이의 값으로 수치적 진리값이라고 한다. 이에 대해서 『아주 참』『참』『약한 거짓』등 말로 표시되는 것을 퍼지 진리값이라고 한다. 일반적으로 τ 로 표시하는 일이 있다. 언어적 진리값이라고 할 때도 있지만 τ 는 구간

의 퍼지 부분집합으로 표시된다.

그림 3

즉 τ 의 멤버십 함수는

그림 3 에 대표적인 언어적 진리값의 멤버십 함수를 든다.
그림에서 가로축의 수치적 진리값의 공간을 표시한다. 『참』의 멤버십 함수는 우상의 직선, 즉

이 되어 있다. 또 『알 수 없다』는

이라는 것이며 2 값 논리의 참 (1) 은 『완전히 참』이라고 하고 퍼지 집합으로는

 

로 표시할 수 있다. 퍼지 진리값도 술어 수식 작용소를 사용해서 예를 들면

과 같은 관계가 있다. 이들 퍼지 진리값은 0 에서 1 까지 사이의 퍼지수로 생각할 수도 있다.
여기서 문제되는 것은 예를 들면

라는 복합 명제는

라고 하면

로 표시할 수 있지만 가 『참』, 가 『약간 참』으로 했을 때 의 퍼지 진리값은 어떻게 되는가 하는 것이다. 표 5 에 의하면 루카셰비치 논리로 함의의 진리값은

였다. 그래서 , 의 진리값을

로 표시하면

등 보통의 수 대신에 퍼지수로서의  를 대입하면 좋고 여기에는 전장의 퍼지화 바업ㅂ이 사용된다. 그러면

를 얻는다 (+, - 등은 퍼지수에 대해서 확장된 연산이다). 표 5 의 다른 논리식에 대해서도 동일하게 할 수 있으므로 이렇게 해서 루카셰비치 논리의 퍼지화로서의 퍼지 논리가 유도된다.
여기서 주의할 점은 명제 의미의 『애매성』과 명제 진리값의『애매성』을 다른 것으로 생각한다는 것이다. 단 양자의 관계에서 『명제의 진리값 한정』이라는 퍼지 논리 특유의 사고 방식이 있다.

 

진리값 한정

고전 논리에서

가 성립한다. 좌변은 진리값을 양에 포함하지만 우변은 포함하지 않는다.
이것과 동일하게 퍼지 명제 『 는 』와 퍼지 논리값 τ 도

로 해서 퍼지 진리값을 포함하지 않는 명제 『 는 』로 번역하는 조작을 명제 『 는 』의 진리값 한정 (truth qualification) 이라고 한다. 이것은 의 멤버십 함수를 퍼지 진리값 τ 와 퍼지 술어  의 멤버십 함수를 사용해서

와 같이 정하는 것이다. 이 방법에 의하면 예를 들어 다음과 같은 관계가 얻어진다.

예를 들면 τ 가 거짓일 때

이므로 에 를 대입하면

가 되므로 를 『작다』고 하면 는 『작지 않다』가 된다. 또 τ 가 아주 참이라고 하면 이것은 『참의 제곱』으로

이다. 이 에 를 대입하면

이 되므로 는 『아주 작다』로 해석된다.
최초의 두 가지 예에 표시되는 것처럼 고전 논리에서 성립되는 관계도 포함된다. 고전 논리에서 진리값 한정은 하찮은 것이지만 퍼지 논리에서는 명제의 『애매성』이 명제의 진위 정도에 따라서 변한다는 중요한 성질을 표현하게 된다. 예를 들면 소문의 알맹이를 그 신빙성을 생각해서 해석하는 것에 상당한다. 진리값 한정의 생각을 사용하면 고전 논리에서의 『거짓말장이의 모순 (패러독스)』의 분석이 되고 퍼지 논리에서 모순은 해소되는 것을 알 수 있다.

 

거짓말쟁이의 모순

거짓말쟁이의 모순이란

는 언명은 고전 논리에서 모순이 된다는 것이며 구체적으로는 이 언명의 진위가 한결 같은 마음으로 정해지지 않는 것을 말한다. 고전 논리에서 모든 엄명 (명제) 은 참인가, 거짓인가의 어느쪽이므로 진위가 결정되지 않는 것은 모순이다.
예를 들면 이 언명이 올바르다, 즉 참이라고 하자. 『나는 거짓말을 한다』는 것이며 이 언명 자신, 내가 내세우는 것이므로 거짓이다. 그러면 『나는 거짓말을 하지 않는다』는 것이 된다. 즉 『나는 거짓말을 한다』는 잘못, 거짓이다. 다음 이 언명이 잘못, 거짓이라고 하자. 이때 『나는 거짓말을 하지 않는다』는 것이며 내가 내세우는 것의 한 가지인 이 언명은 올바르다. 즉 언명은 참이다. 이렇게 해서 언명을 참으로 가정하면 거짓이라는 것이 유도되고 반대로 거짓이라고 가정하면 참이라는 것이 유도된다. 즉 『나는 거짓말을 한다』는 언명의 진위는 참이라고도 거짓이라고도 결정할 수 없다.
다음의 언명

도 거짓말쟁이의 모순과 같은 무리의 것이다.
이러한 언명의 형식을 보자. 언명의 의미 내용을 간단히 라고 쓴다. 그러면 『나는 거짓말을 한다』는 언명한 『 는 거짓』이라는 것을 의미하게 된다. 동일하게 『이 문장은 잘못이다』는 것은 『 는 잘못이다』라는 것을 의미한다. 즉 다음의 형식을 이해할 수 있다.

그런데 앞에 든

의 예에서 알 수 있듯이 일반적으로

라는 것이다. 그래서 『나는 거짓말을 한다』나 『이 문장은 잘못이다』라는 언명은

라는 것이다. 언명의 의미가 『 이며 또한 가 아니다』는 것도 모순이다. 이것이 거짓말쟁이의 모순의 비밀이다. 고전 논리에서는

이라는 식은 성립하지 않고 잘못이다. 즉 어떠한 의미를 가지는 언명 에 대해서도 이 식은 성립하지 않는다. 한편,

은 성립하므로

와 같은 언명은 모순에 빠지지 않는다.
그런데 퍼지 논리에서는 어떻게 되는가를 살펴보자.

이라는 식은 퍼지 논리의 진리값 한정의 식이다. 여기서 거짓을 퍼지 진리값 τ 라고 생각하면 τ 의 멤버십 함수는

였다. 다음 언명은 퍼지 술어를 포함해 그 멤버십 함수를

로 한다. 그러면 진리값 한정의 식에서

가 유도된다. 즉

를 얻는다. 의 값이 결정된다는 것은

에 답이 있다는 것이다. 고전 논리에서 이러한 는 존재하지 않고 즉 답은 없었다.
퍼지 논리를 적용한 결과는 다음과 같이 생각하면 된다. 가 1/2 이라는 것은 『거짓말을 한다』는 것이 퍼지 술어이며 그 의미는 『2 회에 1 회쯤은 거짓말을 한다』는 것이 되거나 또는 『나는 완전히 거짓말을 한다』는 것이 아니라 『내가 말하는  것은 거짓말에 가깝다』는 것.
고전 논리에서는 『나는 거짓말을 한다』는 언명은 허용되지 않는다. 그러나 일상 언어의 세계에서는 이러한 언명은 별로 이상하지 않다. 왜냐하면 그것은 일상 언어에서 말하는 언명에서는 술어가 퍼지이기 때문이다. 이것은 『일상 언어의 논리』는 고전 논리에서는 취급할 수 없다는 것을 시사하고 있다.
거짓말쟁이의 모순이 분석을 통해서 1 이냐 0 이냐의 이자택일적으로 결정되지 않는 상태도 퍼지로서 파악할 수 있는 것을 알았다. 여성 외교관이라는 농담도 이러한 예다. 통설에 의하면 여성은 절대로 『예스』라고 하지 않는다. 『예스』일 때도 『노』, 『노』일 때는 물론 『노』다. 한편, 외교관은 어떠할까. 『예스』라고도 『노』라고도 대답할 수 없는 "퍼지 심경" 이 아닌가. 이런 이야기가 있다. 너구리와 여우가 갑자기 만났을 때 서로가 서먹서먹해서 상대와 닮은 것에 둔갑해서 그 장소를 어물어물 넘길려고 한다. 그래서 너구리는 여우도 둔갑하고 여우는 너구리로 둔갑한다. 그런데 자기와 상대가 다시 달라진 것을 알아차리고 여우로 둔갑한 너구리는 원래의 너구리로 되돌아가고 여우도 원래의 여우로 되돌아간다. 이것을 반복하는 중에 자기가 너구리인지 여우인지 알 수 없게 되었다는 것이다. 이 모호리 (중국에서는 퍼지를 모호라고 한다) 는 바로 "퍼지 존재" 다.

 

퍼지 추론

퍼지 논리에서의 추론을 퍼지 추론이라고 해 퍼지 명제로 된 퍼지 함의를 사용해서 추론을 하는 것이다. 퍼지 추론의 특징은 다음의 모더스ㆍ포넨츠로 표시된다.

라는 퍼지 함의 하에 라는 전제가 부여되어 를 추론한다. 여기서 는 반드시 함의의 전건 와 같지 않아도 되고 결론 도 후건 와는 일반적으로 다르다. 고전 논리에서 는 와 같지 않거나 적어도 가 의 부분 개념이 아니면 결론에 대해서는 아무 것도 말할 수 없었다. 그러나 퍼지 추론에서는 와  는 다소 달라도 괜찮다. 예를 들면 『 가 작으면....』라는 퍼지 함의를 사용해서 『 는 약간 작다』는 전제에 대해서 무엇인가 유용한 결론을 추론하려는 것이다. 이러한 추론은 우리가 평소, 행하고 있는 것이므로 일상적 추론이라고 할 때가 있다. 그래서 퍼지 추론을 일상적 추론의 모델이라고 볼 수도 있다. 추론의 방법은 몇 가지 있지만 그 하나에 진리값 한정의 생각을 교묘하게 사용하는 것이 있다. 이것에 의하면 예를 들어 고속 도로를 주행중에

라는 지식을 가졌다고 하고 실제로

를 추론할 수 있다. 여기서 간단히 하기 위해

와 대응시키면 우선

가 되는 의 진리값 를 구한다. 예를 들면

이 될 것이다. 다음, 퍼지 함의의 진리값을 부여하는 식에

을 대입해서, 를 계산으로 구해

로 한다. 가 아주 참이 되었다고 하면

과 같이 진리값 한정을 사용해서 결론 , 『상당히 감속』이 추론된다.
인간은 보통, 차간 거리가 50m 가 되면 어느 정도, 30m 가 되면 어느 정도하는 식으로 하나씩 정량적으로 지식을 축적한 것이 아니라 『짧아지면 감속한다』는 것처럼 말하자면 정상적으로 지식을 일괄해서 기억하고 있다. 그리고 구체적 상황에 맞추어서 지식의 확실성을 고려하면서 의사 결정을 하고 있다. 퍼지 추론은 이러한 인간의 사고 과정에 대한 모델이다.

 

대머리의 모순

여기서 고전 논리에서의 모순을 하나 더 살펴본다. 소위 『대머리의 모순』이란 다음과 같은 것이다.

라는 두 개의 명제가 올바르다고 하면 ① 에서 출발해서 ② 를 반복해 적용시킴으로써

라는 것이 추론되지만 ③ 은 확실히 잘못이다. 즉 올바른 것에서 잘못된 것이 추론되는 것은 모순이다.
① 은 올바르다, 그런데 ③ 은 잘못이므로 ② 가 잘못이다. 또는 ② 의 적용 방법이 잘못이 된다. 여기서 ② 의 적용이란 다음과 같은 것이다.

수학적 귀납법이라는 조작을 제기할 것까지 없이 이러한 적용은 올바른 것처럼 보인다. 고전 논리에서 ① 과 ② 에서 ③ 이라는 추론 과정이 모순이 되는 것은 실은 『대머리다』가 퍼지 술어인 데 『대머리인가, 아닌가』양자 택일적으로 정해진다고 생각하기 때문이다. 『머리카락이 0 개인 사람은 대머리라는 것과 같은 의미에서 머리카락이 10 만개인 사람이 대머리다』라는 것은 우수운 일이다. 확실히 『머리카락이 10 만개인 사람은 대머리가 아니다』. 그러면 『머리카락이 10 만개인 사람은 대머리다』라고 추론하는 ② 의 반복 중에 어딘가엣 대머리가 아니어야 한다. 그런데 고전 논리에서는

라는 것이 올바른 이상은 이러한 일이 일어날 수 없다.
그런데 『대머리다』라는 것은 실은 퍼지 술어이며 『0 개인 사람은 대머리지만 10 만개인 사람은 대머리가 아니다』라는 자연의 요청을 충족한 더구나 『몇개 이상은 대머리, 몇 개 이하는 대머리가 아니다』라고 단정할 수 없는 것이다.『대머리이다』를 퍼지 집합을 사용해서 생각하면 『머리카락이 개인 사람이 대머리다』라는 그레이드는 의 증가와 함께 0 에 가까워진다. 이 0, 이 1 일 때의 그레이드는 1 이지만 이 10 만일 때의 그레이드는 한없이 0 에 가까울 것이다.
그런데 문제는 『대머리이다』라는 것이 퍼지 술어라고 해도 아직 ① 과 ② 에서

가 추론되는 것은 우습다. 머리카락의 수가 증가하는 데 따라서 대머리라는 것의 정당성이 감소하는 것이면 좋다. 『대머리다』가 퍼지술어라는 것과의 정합성을 취할 수 있다.
추론을 퍼지 논리에서의 퍼지 추론이라고 생각함으로써 이것은 해결된다. ② 의 반복속에서 행해지는 추론을 일반화해서 ① 과 ② 를 고쳐쓰면 다음과 같이 된다.

간단하게 하기 위해

라고 하면

이므로 모더스ㆍ스폰츠는

이 된다. 퍼지 명제 의 진리값으로서 퍼지 진리값의 대신에 간단히 하기 위해 0 에서 1 까지의 사이에 있는 수치에 의한 진리값을 생각해

으로 한다. 그런데 함의 의 진리값은 어떠할까. 대머리가 퍼지 개념 인한, 개와 개가 대머리인 그레이드는 다르다. 즉 『 가 대머리라고 해서 그것과 같은 정도로 개가 대머리라고는 할 수 없다』. 은 퍼지 집합으로 그 진리값은 이미 1 일 수 없다.
그래서 ε 를 충분히 작은 양의 수로서 의 진리값을

로 하자. 전술한 루카셰비치의 식에 의하면

이다. 이 식의 좌변에 를 대입해서 풀면

이 된다. 우변의 이라는 항은 의 진리값이 음이 되지 않기 위해 붙인 것이므로 단지

로 해서 값이 음으로 되었을 때는 0 으로 한다고 생각하면 된다.
또 『머리카락이 0 개인 사람은 대머리다』는 완전한 참이므로 의 진리값은 1 이고

다음

일반적으로

라는 것을 알 수 있다. 그러면 『머리카락이 개인 사람은 대머리다』라는 명제의 진리값은 의 증가와 함께 감소하고 0 에 가까워진다. 가령 ε 를 10 만분의 1 이라고 하면

이다. 이때 이 10 만을 넘으면 진리값은 0 이 된다. 따라서

즉

가 추론되고 모순은 해소된다.
다음, 이러한 퍼지 추론의 결과와 『대머리다』라는 술어의 퍼지성이 정합하는 것을 가리킨다. 앞에서 퍼지 술어를 포함하는 명제의 진리값을 퍼지 술어를 나타내는 멤버십 함수의 값으로 생각할 수도 있다고 설명했다. 이제 『대머리다』라는 퍼지 술어의 멤버십 함수를 머리카락의 수 에 대해서

로 가정한다. 그리고

의 진리값을 으로 해석하기로 한다. 즉

이다. 이미 얻은 결과에 의하면

이 되어 퍼지 추론의 과정을 통해서 대머리의 멤버십 함수가 구해진다. 이 멤버십 함수에서는

이 되므로 『머리카락이 1 개인 사람도 대머리이며』『머리카락이 10 만개에 1 개가 모자란 사람은 대머리가 아니다』로 간주하게 된다.
대머리의 멤버십 함수 이 이렇게 구해진다는 것은 ①' 과 ②', 즉 ① 과 ② 가 실은 『대머리』의 정의로 될 수 있다는 것이다.
따라서 ① 과 ② 는 이미 모순이 생기지 않는다.
이상의 것을 정리하면 고전 논리에서는 퍼지 술어를 퍼지가 아닌 것처럼 간주해 1 이나 0 의 진리값을 생각하므로 모순이 생긴다. 퍼지술어를 포함하는 명제의 진리값은 1 이나 0 에 결정되는 것이 아니라 퍼지다. 고전 논리에서는 완전히 참인 함의에 의해서만 추론할 수 있지만 퍼지 논리에서는 참에 가까운 퍼지 함의를 사용해서 유효한 추론을 할 수 있다.
퍼지 논리에서는 모순은 해소되고 추론의 과정과 술어의 퍼지성은 정합적이다.
이 예에서도 일상 생활의 세계에서 보통 행해지는 추론이 퍼지 논리로 잘 표현할 수 있다는 것을 알 수 있다. 그것은 술어의 퍼지네스를 사고에 도입하고 있기 때문이다.

 

퍼지 관계의 합성에 의한 추론

그래서 간단한 퍼지 추론의 방법으로는 퍼지 관계의 합성 연산을 사용하는 방법이 있다. 즉

라는 전제에 대해서

와 같이 추로나는 것이다. 합성 연산 0 에 대해서는 전장에서 설명했다. 퍼지논리의 응용분야의 하나인 퍼지 제어에서는

처럼 말로 표시되는 퍼지 제어 규칙이 사용된다. 퍼지 제어의 방법은 이러한 제어 규칙을 퍼지 함의의 형태로 표현하고 컴퓨터에 기억시켜 실제로 『설정 온도보다 대략 3 도 낮다』라는 계측 결과를 컴퓨터에 입력해 퍼지 추론을 함으로써 히터의 강도를 어느 정도로 하면 좋은가를 결정하는 것이다.
보통, 퍼지 제어 규칙은 여러 개 있다. 이러할 때는

를 『(1) 또는 (2)』로 해석하고

처럼 여러 개의 제어 규칙을 하나로 통합해서

처럼 추론하면 된다는 것을 안다.

퍼지 확률, 퍼지 가능성, 퍼지 한량 작용소

이제까지 퍼지 논리의 특징으로 네 개의 것, (1) 퍼지 술어, (2) 술어 수식작용소, (3) 퍼지 진리론, (4) 퍼지 추론에 대해서 살폈다. 이중 퍼지 진리값은 퍼지 명제 중의 퍼지 술어의 의미를 한정하는 하나의 시점이 되는 것을 설명했다. 즉, 명제의 『애매성』의 판단을 진리값을 생각함으로써 하고 있다. 명제의 의미를 한정하고 것으로는 이밖에 (5) 퍼지 확률과 (6) 퍼지 가능성이 있다.
『퍼지 확률』이란 수치적 진리값에 대한 언어적 진리값처럼 0.8, 0.3 등의 보통 확률을 퍼지화한 『일어날 것 같다』『별로 일어날 것 같지 않다』등의 표현인 데 『개연성의 정도』를 말로 표시한 것이다. 예를 들면

처럼 명제의 퍼지 확률을 생각할 수 있다. 또 『퍼지 가능성』이란 『상당히 가능하다』『거의 불가능하다』처럼 양상 논리의 가능성 기호 ◇ 를 퍼지화한 것이다. 이것들은 진위와는 다른 퍼지네스의 양상에서 명제의 의미 내용을 생각하는 것에 상당하고 전술한 퍼지 측도 논리로 해석된다.
고전 논리와 퍼지 논리의 차이를 또 하나 두드러지게 하는 것에 퍼지 논리에서는 (7) 퍼지 한량 작용소라는 것을 생각할 수 있다. 고전 논리에서 한량 작용소란 전칭 작용소 ∀ 와 존재 작용소 ∃였다. 『퍼지 한량 작용소』란 『대부분』『몇개의』『많은』『약간의』등을 말한다. 퍼지 한량 작업소를 사용하면 다음과 같은 퍼지 삼단론법이 실행된다.

서 위가 대전제와 소전제, 아래가 추론 결과다. 여기서 『대부분』이라는 것은 비율을 나타내는 말로 그 멤버십 함수는 그림 4 처럼 표시할 수 있다. 단 『대부분』의 어깨에 2 를 붙인 것은 멤버십 함수의 제곱이 아니고 그림처럼 멤버십 함수를 좌측에 넓힌 것이다. 즉 비율의 크기는

모두>대부분>대부분2>적어도 하나

그림 4

학생

 

 

 

 

 

 

 

젊다

 

 

 

 

대부분의 젊은 학생

독
신

대부분2의 학생

 

 

 

 

대부분의 학생

 

 

 

 

 

 

 

(a)

학생

 

 

 

 

 

 

 

젊다

 

 

 

 

독
신
으
로

대부분2의 학생

 

 

 

 

대부분의 학생

 

 

 

 

 

 

 

(b)

그림 5

다. (모두는 ∀, 적어도 하나는 ∃ 에 대응하는) 이 삼단논법을 알기 쉽도록 개념도로 표시하면 그림 5 처럼 될 것이다. 그림 (a) 는 『학생』이라는 개념의 적용 영역 내에서의 각 개념의 영역을 가리킨다. 그림 (b) 는 추론 결과의 주어와 퍼지 술어의 관계를 가르킨다. 그림 (a) 에서 우상의 사선으로 표시된 영역은 『대부분의 학생은 젊다』로 간주되는 부분이며 우하의 사선 영역은 『대부분의 젊은 학생은 독신이다』로 간주되는 부분이다. 그리고 상대방 사선이 교차하는 영역의 크기는 그림 (b) 에 표시된 영역, 즉 『대부분2의 학생은 독신으로 젊다』로 간주되는 부분에 대략 같다는 것을 알 수 있다.

 

경향과 상식 추론

퍼지 삼단론법을 사용하면 이밖에 경향 (disposition) 을 나타내는 추론을 할 수 있다. 경향이란 자데에 의하면 『대략 그렇지만 반드시, 언제나 참이라고는 할 수 없다』라는 것을 의미한다. 예를 들면

가 하나의 예인 데 경향성을 나타내는 명제에 다른 추론은 『평소』라는 말을 사용해서 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있다.

라는 퍼지 함의 하에

라는 전제가 부여되어

를 추론한다. 여기서 『평소』는 퍼지 한량 작용소라고 생각할 수가 있어서 경향의 강도는

다.
이와 같이 퍼지 추론에 의하면 이른 바 상식 (평소는 이렇다, 대략 그렇게 된다, 평소는 이렇다 등) 에 기초한 추론을 모델화할 수가 있다. 상식 추론이란 것은 인공지능의 전제론 (토픽스) 이 되어 있다. 역설적이지만 인간이 평소 상식으로 하는 것이 컴퓨터에게는 가장 서투른 일이다. 퍼지 논리를 사용하면 이러한 상식 추론을 컴퓨터에 실행시킬 수 있다.
퍼지 논리가 기호 논리의 기호를 일상 언어의 레벨로 인하한 것은 인간의 사고 과정의, 그것도 일상적 사고의 모델화를 목적으로 하고 있기 때문이다. 언어와 애매성에서 본 것처럼 일상적 사고와 언어의 애매성은 불가분한 것으로 언어의 애매성이 바로 일상적 사고를 성립시키고 있다면 무엇보다도 이 애매성의 표현과 취급이 필요해진다. 그래서 퍼지 이론이 필요하다. 인간과 일상 회화를 교환하면서 공동 작업을 하는 퍼지 컴퓨터도 꿈 같은 이야기가 아니다.