Quantifier

 

이산수학 : Richard Johnsonbaugh 저서, 강홍식.김정인.이도훈.이명재 번역, 교보문고, 1999 (원서 : Discrete Mathematics 6th ed, Prentice-Hall, 1997), Page 19~34

 

명제절과 조건 명제와 논리적 동치절의 논리에서는 컴퓨터 과학과 수학의 문장 대부분을 묘사하기는 어려운 명제를 다루었다.

예를 들어, 다음 문장을 보자.

명제는 참이거나 거짓인 문장이다. 문장 의 값에 의하여 참이거나 거짓이 결정되기 때문에 명제가 아니다. 예를 들어, 이면 참이며, 만약 이면 거짓이다. 컴퓨터 과학과 수학 문장들의 대부분은 변수를 사용되기 때문에 다음 문장들을 포함하는 논리 시스템으로 확장해야 한다.

명제 함수 에서 자기 자신은 참도 거짓도 아니다. 그러나 각각의 이 그것의 담화 영역에 속해 있으므로, 는 명제이고 따라서 참 또는 거짓 중 하나다. 우리는 담화 영역의 각 요소가 하나의 명제의 분류로 정의되는 것과 같은 명제 함수를 생각할 수 있다. 예를 들어, 만약 가 양의 정수 집합으로 설정해 놓은 담화 영역을 가진 명제 함수라면 우리는 명제 분류

를 얻는다. 각각의 는 참, 거짓 중 하나다.

Wilie Stargell 는 1974 년에 3 할 이상의 안타를 쳤다.

Carlton Fisk 는 1974 년에 3 할 이상의 안타를 쳤다.

Yugo Inn 은 시카고 잡지에 별 2 개 이상으로 평가되었다.

Le Francais 는 시카고 잡지에 별 2 개 이상으로 평가되었다.

컴퓨터 과학과 수학에서 문장의 대부분은 "모든 것에 대하여" 와 "일부분에 대하여" 와 같은 표현이 들어간다. 예를 들면, 수학에서 우리는 다음과 같은 정리를 볼 수 있다.

모든 삼각형 에서, 의 내각의 합은 180 도로 동일하다.

컴퓨터 과학에는 다음과 같은 정리가 있다.

일부분의 프로그램 의 출력이 그 자신이다.

우리는 이제 "모든 것에 대하여" 와 "일부분에 대하여" 를 포함하는 문장을 조절할 수 있도록 명제절과 조건 명제와 논리적 동치절의 논리적 시스템을 확장시킨다.

for every

for every

.

for every

for every

for some 

for some 

for some 

for some 

전체 정량 문장

for every

가 거짓이 되는 것을 보여 보자. 명제 를 거짓으로 만들기 위해서는 담화 영역 속의 값이 하나만 거짓이면 충분하다.

for every

문장의 반례를 드는 방법은 문장의 참을 증명할 때 사용하는 방법과는 상당히 다르다.

다음 문장

for every

의 참을 증명하기 위해서는 담화 영역 내의 의 모든 값에 대하여 for every 가 참임을 보여야 한다.

존재 정량 문장으로 돌아가 보자. 정의 4 에 따라서 존재 정량 문장

for some in

속의 에 대하여 적어도 하나가 참이면 는 참이다. 만약 가 어떤 값 에 대하여 참이면 가 다른 어떤 값 에 대하여 거짓이어도 는 참이 확실히 가능하다.

예제 11 에서 존재 정량 문장은 전체 정량 문장이 참이라는 것이 판명된 것과 관련되어서 거짓이다. 따름 정리 (following theorem) 는 이러한 관계를 정확히 만든다. 이 정리는 드모르간의 논리 법칙을 일반화한다 (예제 11).

and

for all  

for all  

for some

for all

for all

반짝인다고 모두 금은 아니다,

    Not all is 

    Not each is 

    Not every is 

Some is not

Not any is 

No is 

다음 예에서는 한 문장 안에서 전체와 존재 정량자가 어떻게 섞여서 나타나는지 그리고 하나 이상의 변수가 사용되는 경우 어떻게 표현되는지를 보여 줄 것이다.

for every , for some ,

for every , for some ,

예제 15 의 문장을 수정하여 다음과 같이 적어보자.

for some , for every ,

이 참이 되도록 에 어떤 값을 고를 수 있다. 그러나 반례로 마지막 문장이 그릇됨을 증명할 수 있다. 예를 들어, 로 생각할지라도 우리는 잘못된 문장

을 얻는다. 그러므로 위 문장

for some , for every ,

은 거짓이다.

if , then

for every , for every ,

if then

for every , for some ,

for some , if , then

if , then

if , then

for every , for some ,

for some , if , then

if , then

if , then

여기서 전체 혹은 존재 정량 문장을 증명하거나 반증하기 위한 규칙을 요약한다.

for every

for every

for some

for every

for some

for some