Fuzzy Extension Principle

퍼지집합 A와 보통집합 R가 있다고 하자.  그리고 일반적인 관계 R이 A에서 B로의 대응 관계를 나타내고 있다.  그리고 이 대응 관계를 함수 f로 다음과 같이 나타낸다고 하자.

x A,  y B

y = f(x)  또는  x = f¹ (y)

  그러면 우리는 R내에서 R과 A로부터 얻어지는 퍼지집합 B'를 만들 수 있다.  이때 B'의 소속함수는 다음과 같다.

모든 y B 에 대하여

다음 예를 들어보자

A = { (a₁, 0.4), (a₂, 0.5), (a₃, 0.9), (a₄, 0.6) }

B = { b₁, b₂, b₃ }

[그림 1] 퍼지관계의 확장

여기에서는 퍼지집합 A와 보통집합 B에 대하여 그림 1과 같이 관계(crisp relation) R이 주어졌다(다음 절에서는 이 관계를 대응함수 f로 표시하고, r차원 내의 퍼지집합의 확장으로 일반화 하였다)[Kaufmann 1975].
  이제 여기에서 예로 든 퍼지집합 A와 관계 R에 의미를 부여하고, 퍼지확장의 의미를 알아보자.  퍼지집합 A는 "전염병에 걸린 사람의 집합"이라고 하고, 보통집합 B는 "전염병에 걸린 사람들과 접촉했던 사람들이 집합"이라 하자.  그리고 관계 R은 A와 B사이의 접촉의 관계를 나타낸다고 해보자.  예를 들면 퍼지집합 A에 의해서 사람 a₁이 전염병에 걸린 가능성이 0.4이고, a₂는 0.5, a₃은 0.9 등이 된다.  그리고 관계 R에 의해서 a₁은 b₁과 접촉이 있었고, a₂ 는 b₂ 와 접촉을 했다.
  이상과 같이 전염병환자 집합 A와 접촉관계 R이 주어졌을 때, 접촉한 사람 집합 B내에 전염병환자 집합 B'을 구해보자.  

  먼저 b1에 대하여 살펴보자.

f^-1(b₁) = { (a₁, 0.4), (a₃, 0.9) }          Max[ 0.4, 0.9 ] = 0.9

 이제 b₂에 대하여 보자.

f^-1(b₂) = { (a₂, 0.5), (a₄, 0.6) }          Max[ 0.5, 0.6 ] = 0.6

마찬가지 방법으로 b₃에 대하여

f^-1(b₃) = { (a₄, 0.6) }

  앞에서 관계 R A × 은 사실 A가 발생한 후에 사실 B가 나타날 규칙을 표현할 수 있다고 했다.  여기에서도 마찬가지로 생각하면 전염병환자의 집합을 퍼지집합 A로 나타내고, 전염규칙(전염병 환자와의 접촉관계)을 관계 R로 표현해보자.  앞에서와 같이 접촉한 사람의 집합 B내에서 새로운 환자의 집합(퍼지집합) B'를 얻은 것은 규칙과 기존의 사실로부터 새로운 사실을 얻어내는 과정인 초론(inference)의 결과이다.

확장 원리(extension principle)

  앞에서 설명한 퍼지집합의 확장을 좀더 일반화해 보자.  X를 전체집합의 곱집합(Cartesian product) X = X₁ × X₂ × ... ×X_r 이라 하고, A₁, A₂, ..., A_r을 전체집합 내의 r개의 퍼지집합이라 하자.

  퍼지집합 A₁, A₂, ..., A_r 의 곱집합은 다음과 같이 정의되는 퍼지집합 A₁ × A₂ × ...,× A_r  이 된다.

_{A1×A2×...×Ar} (x₁×x₂×,... ×x_r) = Min [ _A1 (x₁), ..., _Ar (x_r)

또한, 함수 f를 공간 X에서 공간 Y로 대응시키는 함수라 하자.  즉,

f(x1, x2, ..., xr) : X → Y

	{	0,             if  f-1(y) =
		,   otherwise --- (1)

그러면 함수 f와 퍼지집합  A₁, A₂, ..., A_r 에 의해서 Y내의 퍼지집합 B를 다음과 같이 얻을 수 있다.
 여기에서 f^-1(y)는 y의 역상(inverse image)이다.  (y)는 y를 얻는 r-tuple(x₁,...,x_r)에서 소속함수 _{A1×A2×...×Ar} (x_1,,... x_r)가 최대인 경우이다.
  이와 같이 퍼지집합과 대응 함수로부터 새로운 퍼지집합을 얻을 수 있는 원칙을 확장원리(extension principle)라 한다.  관계의 확장에서 예로 든 경우가 바로 r=2일대의 퍼지확장이다.  만약 f가 일대일(1:1) 대응(one to one correspondence)함수이면 f^-1(y) 인 경우에는 이 된다는 것을 쉽게 알 수 있다.
  또 다른 형태의 퍼지 확장을 보자.  퍼지집합  A₁, A₂, ..., A_r 들의 대응 함수  f에 의한 상(image)을 B=f(A₁, A₂, ..., A_r) 라 하자.  그러면 상 B의 -수준  [f(A₁, A₂, ..., A_r)]와 A₁, A₂, ..., A_r 의 각각의 -수준집합 A_1α, A_2α, ..., A_rα 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

[f(A₁, A₂, ..., A_r)] = f(A _1α, A_2α, ..., A_rα)

iff       ,   , ..., , ( , ),

_{A1×A2×...×Ar} (, ..., )

  이와 같은 관계에 의해서 -수준집합 A_1α, A_2α, ..., A_rα 의 대응 함수 f에 의해 퍼지집합 f(A₁, A₂, ..., A_r)의 -수준집합 [f(A₁, A₂, ..., A_r)]을 얻을 수 있다[Dubois 1980. Zimmermann 1985].                   
  이상 설명한 확장 원리는 앞의 식(1)에서 Max 연산 대신에 확률 합(probabilitie sum) 연산 ( )을 적용하기도 한다.  또한 여기에 (1)식에서 Min 연산 대신에 곱(product)를 적용할 수 있다.  이러한 확장 이론은 일반적인 집합이나 관계 등을 퍼지화 (fuzzification)하는데 효과적이다.  

이를 요약하면 다음과 같다.

Membership Function f(X) = Y 에서   X=X1*X2*….Xn

A1,A2,….An : Fuzzy Set in X1,X2,….Xn

즉, A={(x, μA(x))|(x1,x2,…,xn) ∈ X}인 Fuzzy 집합일때

μB(y)= Sup μA(x) (f(y)의 역사상이 공집합이 아닐 때)

x∈ f(y)의역사상 0, otherwise(역사상이 공집합이라면)

∴B={(y, μB(y))|y=f(x1,x2,…xn)}

A는 변수 x에 대해 μA(x)를 가지는 fuzzy 집합이 f(x)=Y의 역사상을 통해서 fuzzy 집합이 아닌 B를 y에 대한 fuzzy 집합으로 확장시켰다.

이것을 1차원 확장의 원리라 한다.

1차원에서 μA(x)의 값중에서 Supremum을 택한다.

위의 확장 원리를 다차원으로 확대하면 2개의 fuzzy 집합 A1,A2에 대해 cartesian product(A1*A2)를 하여

μB(y)= supmin(μA1(x1), μA2(x2)) f(y)의역사상=>0 xㅌ역사상

otherwise

이것은 fuzzy 집합 A1,A2의 경우이며 다차원일 경우 얼마든지 확장이 가능하다. 위에서 2차원의 경우는 m,g의 값에서 minimum 중에서 supremum구하는 과정을 거친다.

이것은 하나의 fuzzy 집합과 상관관계를 가지는 crisp 집합을 관계의  정도에 따라서 fuzzy 집합화 하는 것을 의미한다.

예를 들면 hot_sense의 정도가 0.5이고 fever의 정도가 0.7일때 ⇒ 병명 Pulpitis의 정도는 어떻게 보아야 할것인가?

즉 진단을 위해서 True, False만 존재하는 진단의 한계를 극복하고  진단명을 fuzzy 화하여 그 정도를 표시하는 것을 의미한다.

⇒”Pulpitis일 가능성의 정도는 0.8이다”라는 식으로 표현이 가능하다.